En matemáticas , una categoría de Grothendieck es un cierto tipo de categoría abeliana , introducida en el artículo Tôhoku de Alexander Grothendieck de 1957 [1] para desarrollar la maquinaria del álgebra homológica para módulos y gavillas de una manera unificada. La teoría de estas categorías se desarrolló aún más en la tesis seminal de Pierre Gabriel en 1962. [2]
A cada variedad algebraica se puede asociar una categoría de Grothendieck , que consta de las poleas cuasi coherentes en. Esta categoría codifica toda la información geométrica relevante sobre, y se puede recuperar de (el teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg ). Este ejemplo da lugar a un enfoque de la geometría algebraica no conmutativa : el estudio de las "variedades no conmutativas" no es más que el estudio de (ciertas) categorías de Grothendieck. [3]
Definición
Por definición, una categoría de Grothendieck es una categoría AB5 con generador . Explicado, esto significa que
- es una categoría abeliana ;
- cada (posiblemente infinita) familia de objetos en tiene un coproducto (también conocido como suma directa) en;
- los límites directos de secuencias breves exactas son exactos; esto significa que si un sistema directo de secuencias breves y exactas ense da, entonces la secuencia inducida de límites directos es también una secuencia corta y exacta. (Los límites directos son siempre exactos a la derecha ; el punto importante aquí es que requerimos que también sean exactos a la izquierda ).
- posee un generador, es decir, hay un objeto en tal que es un fiel functor dea la categoría de conjuntos . (En nuestra situación, esto equivale a decir que todo objeto de admite un epimorfismo , dónde denota una suma directa de copias de , uno para cada elemento del conjunto (posiblemente infinito) .)
El nombre "categoría Grothendieck" no apareció ni en el artículo Tôhoku de Grothendieck [1] ni en la tesis de Gabriel; [2] entró en uso en la segunda mitad de la década de 1960 en el trabajo de varios autores, incluidos Jan-Erik Roos, Bo Stenström, Ulrich Oberst y Bodo Pareigis. (Algunos autores usan una definición diferente en el sentido de que no requieren la existencia de un generador).
Ejemplos de
- El ejemplo prototípico de una categoría de Grothendieck es la categoría de grupos abelianos ; el grupo abeliano de enteros puede servir como generador.
- De manera más general, dado cualquier anillo (asociativo, con , pero no necesariamente conmutativa), la categoría de todos los módulos de la derecha (o alternativamente: de la izquierda) sobre es una categoría de Grothendieck; en sí mismo puede servir como generador.
- Dado un espacio topológico , la categoría de todas las gavillas de grupos abelianos enes una categoría de Grothendieck. [1] (Más generalmente: la categoría de todas las gavillas de derecho-módulos en es una categoría de Grothendieck para cualquier anillo .)
- Dado un espacio anillado , la categoría de roldanas de módulos O X es una categoría de Grothendieck. [1]
- Dada una variedad algebraica (afín o proyectiva) (o más generalmente: cualquier esquema ), la categoríade poleas cuasi coherentes en es una categoría de Grothendieck.
- Dado un sitio pequeño ( C , J ) (es decir, una categoría C pequeña junto con una topología J de Grothendieck ), la categoría de todas las gavillas de grupos abelianos en el sitio es una categoría de Grothendieck.
Construyendo más categorías de Grothendieck
- Cualquier categoría que sea equivalente a una categoría Grothendieck es en sí misma una categoría Grothendieck.
- Dadas las categorías de Grothendieck , la categoría de producto es una categoría de Grothendieck.
- Dada una pequeña categoría y una categoría Grothendieck , la categoría de functor , que consta de todos los functores covariantes de a , es una categoría de Grothendieck. [1]
- Dada una pequeña categoría preaditiva y una categoría Grothendieck , la categoría de functor de todos los functores covariantes aditivos de a es una categoría de Grothendieck. [4]
- Si es una categoría de Grothendieck y es una subcategoría de localización de, entonces ambos y la categoría del cociente de Serre son categorías de Grothendieck. [2]
Propiedades y teoremas
Cada categoría de Grothendieck contiene un cogenerador inyectivo . Por ejemplo, un cogenerador inyectivo de la categoría de grupos abelianos es el grupo cociente .
Todos los objetos de una categoría de Grothendieck tiene un casco inyectivo en. [1] [2] Esto permite construir resoluciones inyectivas y por lo tanto el uso de las herramientas del álgebra homológica en, para definir functores derivados . (Tenga en cuenta que no todas las categorías de Grothendieck permiten resoluciones proyectivas para todos los objetos; los ejemplos son categorías de haces de grupos abelianos en muchos espacios topológicos, como en el espacio de números reales).
En una categoría de Grothendieck, cualquier familia de subobjetos de un objeto dado tiene un supremum (o "suma")así como un infimum (o "intersección"), los cuales son nuevamente subobjetos de . Además, si la familia está dirigido (es decir, para dos objetos cualesquiera de la familia, hay un tercer objeto en la familia que contiene los dos), y es otro subobjeto de , tenemos [5]
Las categorías de Grothendieck están bien potenciadas (a veces llamadas localmente pequeñas , aunque ese término también se usa para un concepto diferente), es decir, la colección de subobjetos de cualquier objeto dado forma un conjunto (en lugar de una clase adecuada ). [4]
Es un resultado bastante profundo que todas las categorías de Grothendieck es completa , [6] es decir, que existen límites arbitrarios (y en particular productos ) en. Por el contrario, se sigue directamente de la definición quees co-completo, es decir, que existen colimits y coproductos arbitrarios (sumas directas) en. Los coproductos en una categoría de Grothendieck son exactos (es decir, el coproducto de una familia de secuencias cortas exactas es nuevamente una secuencia corta exacta), pero los productos no necesitan ser exactos.
Un functor de una categoría de Grothendieck a una categoría arbitraria tiene un adjunto izquierdo si y solo si conmuta con todos los límites, y tiene un adjunto derecho si y solo si conmuta con todos los colimits. Esto se deduce de Peter J. FREYD 's teorema funtor adjunto especial y su dual. [7]
El teorema de Gabriel-Popescu establece que cualquier categoría de Grothendieckes equivalente a una subcategoría completa de la categoría de módulos derechos sobre algún anillo unital (que puede tomarse como el anillo de endomorfismo de un generador de), y se puede obtener como un cociente de Gabriel depor alguna subcategoría de localización . [8]
Como consecuencia de Gabriel-Popescu, se puede demostrar que cada categoría de Grothendieck es presentable localmente . [9] Además, Gabriel-Popescu se puede utilizar para ver que cada categoría de Grothendieck está completa, siendo una subcategoría reflectante de la categoría completa. para algunos .
Cada pequeña categoría abeliana se puede incrustar en una categoría de Grothendieck, de la siguiente manera. La categoríade functores aditivos (covariantes) exactos a la izquierda (dónde denota la categoría de grupos abelianos ) es una categoría de Grothendieck, y el functor, con , es pleno, fiel y exacto. Un generador de está dado por el coproducto de todos , con . [2] La categoría es equivalente a la categoría de ind-objetos de y la incrustación corresponde a la incrustación natural . Por tanto, podemos ver como la co-finalización de .
Tipos especiales de objetos y categorías de Grothendieck
Un objeto en una categoría de Grothendieck se llama finitamente generado si, siempre que se escribe como la suma de una familia de subobjetos de , entonces ya es la suma de una subfamilia finita. (En el casode categorías de módulos, esta noción es equivalente a la noción familiar de módulos generados finitamente ). Las imágenes epimórficas de objetos generados finitamente se generan nuevamente de manera finita. Si y ambos y se generan finitamente, entonces también lo es . El objeto se genera finitamente si, y solo si, para cualquier sistema dirigido en en el que cada morfismo es un monomorfismo, el morfismo natural es un isomorfismo. [10] Una categoría de Grothendieck no necesita contener ningún objeto generado finitamente distinto de cero.
Una categoría de Grothendieck se denomina localmente generada de forma finita si tiene un conjunto de generadores de generación finita (es decir, si existe una familia de objetos generados finitamente de modo que a cada objeto allí existe y un morfismo distinto de cero ; equivalentemente: es una imagen epimórfica de una suma directa de copias del ). En tal categoría, cada objeto es la suma de sus subobjetos generados finitamente. [4] Todas las categorías se genera localmente de forma finita.
Un objeto en una categoría de Grothendieck se llama finitamente presentado si se genera finitamente y si cada epimorfismo con dominio generado de forma finita tiene un kernel generado finitamente. Una vez más, esto generaliza la noción de módulos presentados de forma finita . Si y ambos y se presentan finitamente, entonces también lo es . En una categoría de Grothendieck generada localmente de forma finita, los objetos presentados de forma finita se pueden caracterizar de la siguiente manera: [11] en se presenta finitamente si, y solo si, para cada sistema dirigido en , el morfismo natural es un isomorfismo.
Un objeto en una categoría Grothendieck se llama coherente si se presenta de manera finita y si cada uno de sus subobjetos generados de manera finita también se presenta de manera finita. [12] (Esto generaliza la noción de haces coherentes en un espacio anillado.) La subcategoría completa de todos los objetos coherentes enes abeliano y el functor de inclusión es exacto . [12]
Un objeto en una categoría de Grothendieck se llama Noetherian si el conjunto de sus subobjetos satisface la condición de cadena ascendente , es decir, si cada secuencia de subobjetos de eventualmente se vuelve estacionario. Este es el caso si y solo si cada subobjeto de X se genera finitamente. (En el caso, esta noción es equivalente a la noción familiar de módulos noetherianos .) Una categoría de Grothendieck se llama localmente noetheriana si tiene un conjunto de generadores noetherianos; un ejemplo es la categoría de módulos izquierdos sobre un anillo noetheriano izquierdo .
Notas
- ↑ a b c d e f Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique" , Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 (2): 119-221, doi : 10.2748 / tmj / 1178244839 , MR 0102537. Traducción inglesa .
- ^ a b c d e Gabriel, Pierre (1962), "Des catégories abéliennes" (PDF) , Bull. Soc. Matemáticas. P. , 90 : 323–448, doi : 10.24033 / bsmf.1583
- ^ Izuru Mori (2007). "Superficies gobernadas cuánticas" (PDF) .
- ^ a b c Faith, Carl (1973). Álgebra: anillos, módulos y I Categorías . Saltador. págs. 486–498. ISBN 9783642806346.
- ^ Stenström, Prop. V.1.1
- ↑ Stenström, Cor. X.4.4
- ^ Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático que trabaja, 2ª edición . Saltador. pag. 130.
- ^ Popesco, Nicolae ; Gabriel, Pierre (1964). "Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exactes". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 258 : 4188–4190.
- ^ Šťovíček, enero (1 de enero de 2013). "Deconstructibilidad y Hill Lemma en categorías de Grothendieck". Forum Mathematicum . 25 (1). arXiv : 1005.3251 . Código Bibliográfico : 2010arXiv1005.3251S . doi : 10.1515 / FORM.2011.113 . S2CID 119129714 .
- ^ Stenström, Prop. V.3.2
- ^ Stenström, Prop. V.3.4
- ^ a b Herzog, I. (1997). "El espectro de Ziegler de una categoría de Grothendieck coherente localmente" . Actas de la London Mathematical Society . 74 (3): 503–558. doi : 10.1112 / S002461159700018X .
Referencias
- Popescu, Nicolae (1973). Categorías abelianas con aplicaciones a anillos y módulos . Prensa académica.
- Stenström, Bo T. (1975). Anillos de cocientes: una introducción a los métodos de la teoría de anillos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07117-6.
enlaces externos
- Tsalenko, M.Sh. (2001) [1994], "Categoría Grothendieck" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Categorías abelianas , notas de Daniel Murfet. La sección 2.3 cubre las categorías de Grothendieck.