En geometría algebraica , un punto genérico P de una variedad algebraica X es, en términos generales, un punto en el que todas las propiedades genéricas son verdaderas, siendo una propiedad genérica una propiedad que es verdadera para casi todos los puntos.
En geometría algebraica clásica, un punto genérico de una variedad algebraica afín o proyectiva de dimensión d es un punto tal que el campo generado por sus coordenadas tiene un grado de trascendencia d sobre el campo generado por los coeficientes de las ecuaciones de la variedad.
En la teoría de esquemas , el espectro de un dominio integral tiene un punto genérico único, que es el ideal primo mínimo. Como el cierre de este punto para la topología de Zariski es todo el espectro, la definición se ha extendido a topología general , donde un punto genérico de un espacio topológico X es un punto cuyo cierre es X .
Definición y motivación
Un punto genérico del espacio topológico X es un punto P cuyo cierre es todo de X , es decir, un punto que es denso en X . [1]
La terminología surge del caso de la topología de Zariski sobre el conjunto de subvariedades de un conjunto algebraico : el conjunto algebraico es irreducible (es decir, no es la unión de dos subconjuntos algebraicos propios) si y solo si el espacio topológico de las subvariedades tiene un punto genérico.
Ejemplos de
- El único espacio de Hausdorff que tiene un punto genérico es el conjunto singleton .
- Cualquier esquema integral tiene un punto genérico (único); en el caso de un esquema integral afín (es decir, el espectro primo de un dominio integral ) el punto genérico es el punto asociado al ideal primo (0).
Historia
En el enfoque fundacional de André Weil , desarrollado en sus Fundamentos de la geometría algebraica , los puntos genéricos jugaron un papel importante, pero se manejaron de manera diferente. Para una variedad algebraica V sobre un campo K , los puntos genéricos de V eran una clase completa de puntos de V que tomaban valores en un dominio universal Ω, un campo algebraicamente cerrado que contenía K pero también un suministro infinito de nuevos indeterminados. Este enfoque funcionó, sin necesidad de tratar directamente con la topología de V ( es decir, topología K- Zariski), porque todas las especializaciones se podían discutir a nivel de campo (como en el enfoque de la teoría de la valoración para la geometría algebraica, popular en el 1930).
Esto tuvo el costo de haber una gran colección de puntos igualmente genéricos. Oscar Zariski , un colega de Weil en São Paulo justo después de la Segunda Guerra Mundial , siempre insistió en que los puntos genéricos deberían ser únicos. (Esto se puede volver a poner en términos de topólogos: la idea de Weil no da un espacio de Kolmogorov y Zariski piensa en términos del cociente de Kolmogorov ).
En los rápidos cambios fundamentales de la década de 1950, el enfoque de Weil se volvió obsoleto. Sin embargo, en la teoría de esquemas , a partir de 1957, volvieron los puntos genéricos: esta vez a la Zariski . Por ejemplo, para R un anillo de valoración discreto , Spec ( R ) consta de dos puntos, un punto genérico (procedente del ideal primo {0}) y un punto cerrado o punto especial procedente del ideal máximo único . Para morfismos a Spec ( R ), la fibra por encima del punto especial es la fibra especial , un concepto importante, por ejemplo, en el módulo de reducción p , la teoría de la monodromía y otras teorías sobre la degeneración. La fibra genérica , igualmente, es la fibra por encima del punto genérico. Entonces, la geometría de la degeneración se trata en gran medida del paso de fibras genéricas a fibras especiales, o en otras palabras, cómo la especialización de parámetros afecta las cosas. (Para un anillo de valoración discreto, el espacio topológico en cuestión es el espacio de Sierpinski de los topólogos. Otros anillos locales tienen puntos genéricos y especiales únicos, pero un espectro más complicado, ya que representan dimensiones generales. El caso de valoración discreta es muy parecido a la unidad compleja disco , para estos fines.)
Referencias
- ^ David Mumford , El libro rojo de variedades y esquemas, Springer 1999
- Vickers, Steven (1989). Topología vía lógica . Cambridge Tracts en Informática Teórica. 5 . pag. 65. ISBN 0-521-36062-5.
- Weil, André (1946). Fundamentos de la geometría algebraica . Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society. XXIX .