En matemáticas , el espacio de Sierpiński (o el conjunto de dos puntos conectados ) es un espacio topológico finito con dos puntos, de los cuales solo uno está cerrado . [1] Es el ejemplo más pequeño de un espacio topológico que no es ni trivial ni discreto . Lleva el nombre de Wacław Sierpiński .
El espacio de Sierpiński tiene relaciones importantes con la teoría de la computación y la semántica , [2] [3] porque es el espacio de clasificación para conjuntos abiertos en la topología de Scott .
Definición y propiedades fundamentales
Explícitamente, el espacio de Sierpiński es un espacio topológico S cuyo conjunto de puntos subyacente es {0,1} y cuyos conjuntos abiertos son
Los conjuntos cerrados son
Por tanto, el conjunto singleton {0} está cerrado y el conjunto {1} está abierto (∅ = conjunto vacío ).
El operador de cierre en S está determinado por
Un espacio topológico finito también está determinado únicamente por su preorden de especialización . Para el espacio de Sierpiński, este preorden es en realidad un orden parcial y está dado por
Propiedades topologicas
El espacio de Sierpiński S es un caso especial tanto de la topología de punto particular finito (con el punto particular 1) como de la topología de punto excluido finito (con el punto 0 excluido). Por lo tanto, S tiene muchas propiedades en común con una o ambas familias.
Separación
- Los puntos 0 y 1 son topológicamente distinguibles en S ya que {1} es un conjunto abierto que contiene solo uno de estos puntos. Por tanto, S es un espacio de Kolmogorov (T 0 ) .
- Sin embargo, S no es T 1 ya que el punto 1 no está cerrado. De ello se deduce que S no es Hausdorff , o T n para cualquier n ≥ 1.
- S no es regular (o completamente regular ) ya que el punto 1 y el conjunto cerrado disjunto {0} no se pueden separar por vecindades . (También la regularidad en presencia de T 0 implicaría Hausdorff.)
- S es vacuamente normales y completamente normal ya que no hay no vacíos conjuntos separados .
- S no es perfectamente normal ya que los conjuntos cerrados disjuntos ∅ y {0} no pueden ser separados con precisión por una función. De hecho, {0} no puede ser el conjunto cero de ninguna función continua S → R ya que cada una de estas funciones es constante .
Conectividad
- El espacio de Sierpiński S está hiperconectado (ya que cada conjunto abierto no vacío contiene 1) y ultraconectado (ya que todo conjunto cerrado no vacío contiene 0).
- De ello se deduce que S está conectado y conectado por ruta .
- Una ruta de 0 a 1 en S viene dada por la función: f (0) = 0 y f ( t ) = 1 para t > 0. La función f : I → S es continua ya que f −1 (1) = ( 0,1] que está abierto en I .
- Como todos los espacios topológicos finitos, S está conectado de forma local .
- El espacio de Sierpiński es contráctil , por lo que el grupo fundamental de S es trivial (al igual que todos los grupos de homotopía superior ).
Compacidad
- Como todos los espacios topológicos finitos, el espacio de Sierpiński es compacto y cuenta en segundo lugar .
- El subconjunto compacto {1} de S no está cerrado, lo que muestra que no es necesario cerrar subconjuntos compactos de espacios T 0 .
- Cada cubierta abierta de S debe contener a S ya que S es la única vecindad abierta de 0. Por lo tanto, cada cubierta abierta de S tiene una subcubierta abierta que consta de un solo conjunto: { S }.
- De ello se deduce que S es completamente normal . [4]
Convergencia
- Cada secuencia en S converge al punto 0. Esto se debe a que la única vecindad de 0 es la propia S.
- Una secuencia en S converge a 1 si y solo si la secuencia contiene solo un número finito de términos iguales a 0 (es decir, la secuencia es finalmente solo unos).
- El punto 1 es un punto de agrupación de una secuencia en S si y solo si la secuencia contiene infinitos unos.
- Ejemplos :
- 1 no es un punto de agrupación de (0,0,0,0,…).
- 1 es un punto de agrupación (pero no un límite) de (0,1,0,1,0,1,…).
- La secuencia (1,1,1,1,…) converge tanto en 0 como en 1.
Metrizabilidad
- El espacio Sierpiński S no es metrizable ni pseudometrizable, ya que cada espacio pseudométrico es completamente regular, pero el espacio Sierpiński ni siquiera es regular .
- S es generado por el hemimétrico (o pseudo - cuasimétrico ) y .
Otras propiedades
- Solo hay tres mapas continuos de S a sí mismo: el mapa de identidad y los mapas constantes a 0 y 1.
- De ello se deduce que el grupo de homeomorfismos de S es trivial .
Funciones continuas al espacio Sierpiński
Sea X un conjunto arbitrario. El conjunto de todas las funciones de X al conjunto {0,1} es típicamente denota 2 X . Estas funciones son precisamente las funciones características de X . Cada una de estas funciones tiene la forma
donde U es un subconjunto de X . En otras palabras, el conjunto de funciones 2 X está en biyectiva correspondencia con P ( X ), el conjunto potencia de X . Cada subconjunto U de X tiene su función característica χ U y cada función de X a {0,1} tiene esta forma.
Ahora suponga que X es un espacio topológico y deje que {0,1} tenga la topología de Sierpiński. A continuación, una función χ U : X → S es continua si y sólo si χ U -1 (1) está abierto en X . Pero, por definicion
Así χ T es continua si y sólo si T está abierto en X . Sea C ( X , S ) el conjunto de todos los mapas continuos de X a S y sea T ( X ) la topología de X (es decir, la familia de todos los conjuntos abiertos). Entonces tenemos un biyección de T ( X ) a C ( X , S ) que envía el conjunto abierto U a chi U .
Es decir, si identificamos 2 X con P ( X ), el subconjunto de mapas continuos C ( X , S ) ⊂ 2 X es precisamente la topología de X : T ( X ) ⊂ P ( X ).
Un ejemplo particularmente notable de esto es la topología de Scott para conjuntos parcialmente ordenados , en la que el espacio de Sierpiński se convierte en el espacio de clasificación para conjuntos abiertos cuando la función característica conserva las uniones dirigidas . [5]
Descripción categórica
La construcción anterior se puede describir muy bien utilizando el lenguaje de la teoría de categorías . Existe el functor contravariante T : Top → Conjunto de la categoría de espacios topológicos a la categoría de conjuntos que asigna a cada espacio topológico X su conjunto de conjuntos abiertos T ( X ) y a cada función continua f : X → Y el mapa de preimagen
Entonces, el enunciado se convierte en: el functor T está representado por ( S , {1}) donde S es el espacio de Sierpiński. Es decir, T es naturalmente isomorfo al functor Hom (-, S ) con el isomorfismo natural determinado por el elemento universal {1} ∈ T ( S ). Esto se generaliza con la noción de pregajo . [6]
La topología inicial
Cualquier espacio topológico X tiene la topología inicial inducida por la familia C ( X , S ) de funciones continuas al espacio de Sierpiński. De hecho, para engrosar la topología en X se deben eliminar los conjuntos abiertos. Pero eliminar el conjunto abierto U haría que χ U fuera discontinua. Entonces X tiene la topología más burda para la cual cada función en C ( X , S ) es continua.
La familia de funciones C ( X , S ) separa puntos en X si y solo si X es un espacio T 0 . Dos puntos x y y serán separados por la función χ T si y sólo si el conjunto abierto U contiene precisamente uno de los dos puntos. Esto es exactamente lo que significa para x e y para ser topológicamente distinguibles .
Por lo tanto, si X es T 0 , que puede incrustar X como un subespacio de un producto de espacios de Sierpinski, donde hay una copia de S para cada conjunto abierto U en X . El mapa de incrustación
es dado por
Desde subespacios y productos de T 0 espacios son T 0 , se deduce que un espacio topológico es T 0 si y sólo si es homeomorfo a un subespacio de una potencia de S .
En geometría algebraica
En geometría algebraica, el espacio de Sierpiński surge como el espectro , Spec ( R ), de un anillo de valoración discreto R como Z ( p ) (la localización de los enteros en el ideal primo generado por el número primo p ). El punto genérico de Spec ( R ), procedente del ideal cero , corresponde al punto abierto 1, mientras que el punto especial de Spec ( R ), procedente del ideal máximo único , corresponde al punto cerrado 0.
Ver también
- Espacio topológico finito
- Lista de topologías
- Pseudocírculo
Notas
- ^ Espacio de Sierpinski en nLab
- ^ Un artículo en línea, explica la motivación, por qué la noción de “topología” se puede aplicar en la investigación de conceptos de la informática. Alex Simpson: Estructuras matemáticas para semántica (original) . Capítulo III: Espacios topológicos desde una perspectiva computacional (original) . La sección "Referencias" proporciona muchos materiales en línea sobre teoría de dominios .
- ^ Escardó, Martín (2004). Topología sintética de tipos de datos y espacios clásicos . Notas electrónicas en informática teórica. 87 . Elsevier . CiteSeerX 10.1.1.129.2886 .
- ^ Steen y Seebach enumeran incorrectamente el espacio de Sierpiński como no completamente normal (o completamente T 4 en su terminología).
- ^ Topología de Scott en nLab
- ^ Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría de Topos , (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102
Referencias
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
- Michael Tiefenback (1977) "Genealogía topológica", Revista de matemáticas 50 (3): 158–60 doi : 10.2307 / 2689505