En matemáticas , una variedad completa (o variedad geodésicamente completa ) M es una variedad ( pseudo -) riemanniana para la cual, comenzando en cualquier punto p , puede seguir una línea "recta" indefinidamente a lo largo de cualquier dirección. Más formalmente, el mapa exponencial en el punto p , se define en T p M , todo el espacio tangente en p .
De manera equivalente, considere una geodésica máxima . Aquí es un intervalo abierto de y, debido a que las geodésicas están parametrizadas con "velocidad constante", se define de manera única hasta la transversalidad. Porque es máxima, mapea los extremos dea puntos de ∂ M , y la longitud demide la distancia entre esos puntos. Una variedad es geodésicamente completa si para cualquier geodésica, tenemos eso .
Ejemplos y no ejemplos
Espacio euclidiano , las esferas y el tori (con sus métricas naturales de Riemann ) son todas variedades completas.
Todos los colectores compactos de Riemann y todos los colectores homogéneos están geodésicamente completos. Todos los espacios simétricos están geodésicamente completos.
Cada variedad de Riemannian conectada por caminos de dimensión finita que es también un espacio métrico completo (con respecto a la distancia de Riemann ) es geodésicamente completa. De hecho, la completitud geodésica y la completitud métrica son equivalentes para estos espacios. Este es el contenido del teorema de Hopf-Rinow .
No ejemplos
Un ejemplo simple de un colector no completo lo da el plano perforado (con su métrica inducida). Las geodésicas que van al origen no se pueden definir en toda la línea real. Por el teorema de Hopf-Rinow, alternativamente podemos observar que no es un espacio métrico completo: cualquier secuencia en el plano que converge al origen es una secuencia de Cauchy no convergente en el plano perforado.
Existen variedades pseudo-riemannianas compactas no geodésicamente completas (pero no riemannianas). Un ejemplo de esto es el toro de Clifton-Pohl .
En la teoría de la relatividad general , que describe la gravedad en términos de una geometría pseudo-Riemanniana, surgen muchos ejemplos importantes de espacios geodésicamente incompletos, por ejemplo, agujeros negros no rotativos sin carga o cosmologías con un Big Bang . El hecho de que tal incompletitud sea bastante genérico en la relatividad general se muestra en los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking .
Referencias
- O'Neill, Barrett (1983). Geometría semi-riemanniana . Prensa académica . Capítulo 3. ISBN 0-12-526740-1.