En física matemática , la cuantización geométrica es un enfoque matemático para definir una teoría cuántica correspondiente a una teoría clásica dada . Se intenta realizar la cuantización , para la que en general no existe una receta exacta, de tal forma que quedan manifiestas ciertas analogías entre la teoría clásica y la teoría cuántica. Por ejemplo, se debe incorporar la similitud entre la ecuación de Heisenberg en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica y la ecuación de Hamilton en la física clásica.
Uno de los primeros intentos de cuantización natural fue la cuantización de Weyl , propuesta por Hermann Weyl en 1927. Aquí, se intenta asociar un observable de la mecánica cuántica (un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert ) con una función de valor real. en el espacio de fases clásico . La posición y el momento en este espacio de fase se asignan a los generadores del grupo de Heisenberg , y el espacio de Hilbert aparece como una representación de grupo del grupo de Heisenberg . En 1946, HJ Groenewoldconsideró el producto de un par de tales observables y preguntó cuál sería la función correspondiente en el espacio de fase clásico. [1] Esto lo llevó a descubrir el producto estelar espacio-fase de un par de funciones.
La teoría moderna de la cuantización geométrica fue desarrollada por Bertram Kostant y Jean-Marie Souriau en la década de 1970. Una de las motivaciones de la teoría fue comprender y generalizar el método de la órbita de Kirillov en la teoría de la representación.
De manera más general, esta técnica conduce a la cuantificación de la deformación , donde el producto ★ se toma como una deformación del álgebra de funciones en una variedad simpléctica o variedad de Poisson . Sin embargo, como esquema de cuantificación natural (un funtor), el mapa de Weyl no es satisfactorio. Por ejemplo, el mapa de Weyl del clásico momento angular al cuadrado no es solo el operador del momento angular cuántico al cuadrado, sino que además contiene un término constante 3ħ 2/2 . (Este término adicional es realmente significativo físicamente, ya que explica el momento angular que no desaparece de la órbita de Bohr en el estado fundamental en el átomo de hidrógeno. [2] ) Sin embargo, como un mero cambio de representación, el mapa de Weyl subyace a la alternativaformulación fase-espacio de la mecánica cuántica convencional.
El procedimiento de cuantización geométrica se divide en los tres pasos siguientes: precuantificación, polarización y corrección metapléctica. La precuantificación produce un espacio de Hilbert natural junto con un procedimiento de cuantización para observables que transforma exactamente los corchetes de Poisson del lado clásico en conmutadores del lado cuántico. Sin embargo, generalmente se entiende que el espacio de Hilbert precuántico es "demasiado grande". [3] La idea es que se debe seleccionar un conjunto de n variables conmutadas por Poisson en el espacio de fase de 2 n dimensiones y considerar funciones (o, más correctamente, secciones) que dependen solo de estas n variables. el nlas variables pueden tener valores reales, lo que da como resultado un espacio de Hilbert de estilo de posición, o valores complejos, lo que produce algo como el espacio de Segal-Bargmann . [a] Una polarización es una descripción independiente de las coordenadas de tal elección de n funciones de conmutación de Poisson. La corrección metapléctica (también conocida como corrección de media forma) es una modificación técnica del procedimiento anterior que es necesaria en el caso de polarizaciones reales y, a menudo, conveniente para polarizaciones complejas.