Formulación de espacio de fase

La formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica coloca las variables de posición y momento en pie de igualdad, en el espacio de fase . En contraste, la imagen de Schrödinger usa las representaciones de posición o momento (ver también espacio de posición y momento ). Las dos características clave de la formulación del espacio de fase son que el estado cuántico se describe mediante una distribución de cuasiprobabilidad (en lugar de una función de onda , vector de estado o matriz de densidad ) y la multiplicación de operadores se reemplaza por un producto estrella .

La teoría fue desarrollada completamente por Hilbrand Groenewold en 1946 en su tesis doctoral, ^[1] e independientemente por Joe Moyal , ^[2] cada uno basándose en ideas anteriores de Hermann Weyl ^[3] y Eugene Wigner . ^[4]

La principal ventaja de la formulación del espacio de fase es que hace que la mecánica cuántica parezca lo más similar posible a la mecánica hamiltoniana al evitar el formalismo del operador, "liberando así la cuantificación de la" carga "del espacio de Hilbert ". ^[5] Esta formulación es de naturaleza estadística y ofrece conexiones lógicas entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística clásica, lo que permite una comparación natural entre las dos (ver límite clásico ). La mecánica cuántica en el espacio de fase a menudo se ve favorecida en ciertas aplicaciones de óptica cuántica (ver espacio de fase óptico ), o en el estudio de la decoherencia y una variedad de problemas técnicos especializados, aunque por lo demás, el formalismo se emplea con menos frecuencia en situaciones prácticas. ^[6]

Las ideas conceptuales que subyacen al desarrollo de la mecánica cuántica en el espacio de fases se han ramificado en ramificaciones matemáticas como la deformación-cuantización de Kontsevich (ver fórmula de cuantificación de Kontsevich ) y la geometría no conmutativa .

Distribución del espacio de fase

La distribución de espacio de fase f ( x ,  p ) de un estado cuántico es una distribución de cuasiprobabilidad. En la formulación del espacio de fase, la distribución del espacio de fase puede tratarse como la descripción primitiva fundamental del sistema cuántico, sin ninguna referencia a las funciones de onda o matrices de densidad. ^[7]

Hay varias formas diferentes de representar la distribución, todas interrelacionadas. ^{[8] [9]} La más notable es la representación de Wigner , W ( x ,  p ) , descubierta primero. ^[4] Otras representaciones (en orden aproximadamente descendente de prevalencia en la literatura) incluyen las representaciones de Glauber-Sudarshan P , ^{[10] [11]} Husimi Q , ^[12] Kirkwood-Rihaczek, Mehta, Rivier y Born-Jordan. ^{[13] [14]} Estas alternativas son más útiles cuando el hamiltoniano toma una forma particular, como el orden normal para la representación P de Glauber-Sudarshan. Dado que la representación de Wigner es la más común, este artículo generalmente se ceñirá a ella, a menos que se especifique lo contrario.

La distribución espacio-fase posee propiedades similar a la densidad de probabilidad en un 2 n espacio de fase -dimensional. Por ejemplo, tiene un valor real , a diferencia de la función de onda generalmente de valor complejo. Podemos comprender la probabilidad de estar dentro de un intervalo de posición, por ejemplo, integrando la función de Wigner en todos los momentos y en el intervalo de posición:

${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dx\,dp.}$

Si  ( x ,  p ) es un operador que representa un observable, se puede asignar al espacio de fase como A ( x , p ) a través de la transformada de Wigner . A la inversa, este operador puede recuperarse mediante la transformada de Weyl .

El valor esperado de lo observable con respecto a la distribución del espacio de fase es ^{[2] [15]}

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.}$

Sin embargo, un punto de precaución: a pesar de la similitud en apariencia, W ( x ,  p ) no es una distribución de probabilidad conjunta genuina , porque las regiones debajo de ella no representan estados mutuamente excluyentes, como se requiere en el tercer axioma de la teoría de la probabilidad . Además, en general, puede tomar valores negativos incluso para estados puros, con la única excepción de los estados coherentes (opcionalmente comprimidos ) , en violación del primer axioma .

Se puede demostrar que las regiones de tal valor negativo son "pequeñas": no pueden extenderse a regiones compactas mayores que unos pocos ħ y, por lo tanto, desaparecen en el límite clásico . Están protegidos por el principio de incertidumbre , que no permite una localización precisa dentro de regiones de espacio de fase menores que ħ y, por lo tanto, hace que esas "probabilidades negativas" sean menos paradójicas. Si el lado izquierdo de la ecuación debe interpretarse como un valor esperado en el espacio de Hilbert con respecto a un operador, entonces, en el contexto de la óptica cuántica, esta ecuación se conoce como el teorema de equivalencia óptica . (Para obtener detalles sobre las propiedades y la interpretación de la función Wigner, consulte su artículo principal ).

Un enfoque de espacio de fase alternativo a la mecánica cuántica busca definir una función de onda (no solo una densidad de cuasiprobabilidad) en el espacio de fase, típicamente por medio de la transformada de Segal-Bargmann . Para ser compatible con el principio de incertidumbre, la función de onda del espacio de fase no puede ser una función arbitraria, o podría localizarse en una región arbitrariamente pequeña del espacio de fase. Más bien, la transformada de Segal-Bargmann es una función holomórfica de${\displaystyle x+ip}$. Existe una densidad de cuasiprobabilidad asociada a la función de onda de espacio-fase; es la representación Husimi Q de la función de onda de posición.

Producto estrella

El operador binario no conmutativo fundamental en la formulación del espacio de fase que reemplaza la multiplicación del operador estándar es el producto estrella , representado por el símbolo ★ . ^[1] Cada representación de la distribución del espacio-fase tiene un producto estrella característico diferente . Para ser más concretos, restringimos esta discusión al producto estrella relevante para la representación de Wigner-Weyl.

Por conveniencia de notación, introducimos la noción de derivadas izquierda y derecha . Para un par de funciones f y g , las derivadas izquierda y derecha se definen como

${\displaystyle {\begin{aligned}f{\overleftarrow {\partial }}_{x}g&={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g\\[5pt]f{\overrightarrow {\partial }}_{x}g&=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.\end{aligned}}}$

La definición diferencial del producto estrella es

${\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overleftarrow {\partial }}_{x}{\overrightarrow {\partial }}_{p}-{\overleftarrow {\partial }}_{p}{\overrightarrow {\partial }}_{x}\right)\right)}\,g}$

donde el argumento de la función exponencial se puede interpretar como una serie de potencias. Las relaciones diferenciales adicionales permiten escribir esto en términos de un cambio en los argumentos de f y g :

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}}$

También es posible definir el producto ★ en una forma integral de convolución, ^[16] esencialmente a través de la transformada de Fourier :

${\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''~.}$

(Así, por ejemplo, ^{[7] los} gaussianos componen hiperbólicamente ,

${\displaystyle \exp \left(-{a}(x^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(x^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(x^{2}+p^{2})\right),}$

o

${\displaystyle \delta (x)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{xp \over \hbar }\right),}$

etc.)

Las distribuciones de energía de los estados propios se conocen como estados genostar , ★ - estados gens , funciones de gen estelar o ★ - funciones de gen , y las energías asociadas se conocen como valores de gen estelar o ★ - genvalues . Estos se resuelven, de forma análoga a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo , mediante la ecuación ★ -genvalue, ^{[17] [18]}

${\displaystyle H\star W=E\cdot W,}$

donde H es el hamiltoniano, una función de espacio de fase simple, casi siempre idéntica al hamiltoniano clásico.

Evolución del tiempo

La evolución temporal de la distribución del espacio de fase viene dada por una modificación cuántica del flujo de Liouville . ^{[2] [9] [19]} Esta fórmula resulta de aplicar la transformación de Wigner a la versión de matriz de densidad de la ecuación cuántica de Liouville , la ecuación de von Neumann .

En cualquier representación de la distribución del espacio de fase con su producto estrella asociado, esto es

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),}$

o, para la función Wigner en particular,

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({{\frac {\hbar }{2}}({\overset {\leftarrow }{\partial _{x}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{x}}})}\right)\ H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}$

donde {{,}} es el corchete de Moyal , la transformada de Wigner del conmutador cuántico, mientras que {,} es el corchete de Poisson clásico . ^[2]

Esto proporciona una ilustración concisa del principio de correspondencia : esta ecuación se reduce manifiestamente a la ecuación clásica de Liouville en el límite ħ → 0. En la extensión cuántica del flujo, sin embargo, la densidad de puntos en el espacio de fase no se conserva ; el fluido de probabilidad parece "difusivo" y compresible. ^[2] El concepto de trayectoria cuántica es, por tanto, un tema delicado aquí. ^[20] Vea la película para conocer el potencial de Morse, a continuación, para apreciar la no localidad del flujo de fase cuántica.

Nota: Dadas las restricciones impuestas por el principio de incertidumbre sobre la localización, Niels Bohr negó enérgicamente la existencia física de tales trayectorias a escala microscópica. Mediante trayectorias formales de espacio-fase, el problema de evolución temporal de la función de Wigner puede resolverse rigurosamente utilizando el método de trayectoria integral ^[21] y el método de características cuánticas , ^[22] aunque existen graves obstáculos prácticos en ambos casos.

Ejemplos de

Oscilador armónico simple

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner F _n ( u ) para el oscilador armónico simple con a) n = 0, b) n = 1 yc) n = 5.

El hamiltoniano para el oscilador armónico simple en una dimensión espacial en la representación de Wigner-Weyl es

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.}$

La ecuación ★ -genvalue para la función estática de Wigner luego lee

${\displaystyle {\begin{aligned}H\star W={}&\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\[4pt]={}&\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)^{2}\right)~W\\[4pt]={}&\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}^{2}\right)\right)~W\\[4pt]&{}+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)~W\\[4pt]={}&E\cdot W.\end{aligned}}}$

Función de Wigner para el estado fundamental del oscilador armónico, desplazado del origen del espacio de fase, es decir, un estado coherente . Nótese la rotación rígida, idéntica al movimiento clásico: esta es una característica especial del SHO, que ilustra el principio de correspondencia . Desde el sitio web de pedagogía general. ^[23]

(Haga clic para animar).

Considere, en primer lugar, la parte imaginaria de la ecuación de ★ -genvalor,

${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\stackrel {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\frac {p}{m}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial _{x}}}\right)\cdot W=0}$

Esto implica que uno puede escribir los estados ★ como funciones de un solo argumento,

${\displaystyle W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).}$

Con este cambio de variables, es posible escribir la parte real de la ecuación de valor ★ -gen en la forma de una ecuación de Laguerre modificada (¡no la ecuación de Hermite !), Cuya solución involucra los polinomios de Laguerre como ^[18]

${\displaystyle F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega }~,}$

introducido por Groenewold en su artículo, ^[1] con ★ -genvalues asociados

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)~.}$

Para el oscilador armónico, la evolución temporal de una distribución de Wigner arbitraria es simple. Una inicial W ( x , p ; t = 0) = F ( u ) evoluciona por la ecuación de evolución anterior impulsada por el oscilador hamiltoniano dado, simplemente rotando rígidamente en el espacio de fase , ^[1]

${\displaystyle W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,~p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0)~.}$

Normalmente, un "golpe" (o estado coherente) de energía E ≫ ħω puede representar una cantidad macroscópica y aparecer como un objeto clásico que gira uniformemente en el espacio de fase, un oscilador mecánico simple (ver las figuras animadas). Integrando todas las fases (posiciones iniciales en t = 0) de tales objetos, una "empalizada" continua, produce una configuración independiente del tiempo similar a la anterior ★ -genera F ( u ) estática , una visualización intuitiva del límite clásico para grandes sistemas de acción. ^[6]

Momento angular de partícula libre

Suponga que una partícula está inicialmente en un estado gaussiano mínimamente incierto , con los valores esperados de posición y momento centrados en el origen en el espacio de fase. La función de Wigner para tal estado que se propaga libremente es

${\displaystyle W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,}$

where α is a parameter describing the initial width of the Gaussian, and τ = m/α²ħ.

Initially, the position and momenta are uncorrelated. Thus, in 3 dimensions, we expect the position and momentum vectors to be twice as likely to be perpendicular to each other as parallel.

However, the position and momentum become increasingly correlated as the state evolves, because portions of the distribution farther from the origin in position require a larger momentum to be reached: asymptotically,

${\displaystyle W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.}$

(This relative "squeezing" reflects the spreading of the free wave packet in coordinate space.)

Indeed, it is possible to show that the kinetic energy of the particle becomes asymptotically radial only, in agreement with the standard quantum-mechanical notion of the ground-state nonzero angular momentum specifying orientation independence:^[24]

${\displaystyle K_{\text{rad}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)}$

${\displaystyle K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.}$

Morse potential

The Morse potential is used to approximate the vibrational structure of a diatomic molecule.

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The Wigner function time-evolution of the Morse potentialU( x) = 20(1 − e^−0.16x) ² in atomic units (a.u.). The solid lines represent level set of the HamiltonianH( x, p) = p²/2 + U( x) .