En matemáticas , la constante Glaisher-Kinkelin o constante de Glaisher , típicamente denotado A , es una constante matemática , relacionado con el K-función y la función G Barnes . La constante aparece en varias sumas e integrales , especialmente aquellas que involucran funciones gamma y funciones zeta . Lleva el nombre de los matemáticos James Whitbread Lee Glaisher y Hermann Kinkelin .
Su valor aproximado es:
La constante A de Glaisher-Kinkelin puede estar dada por el límite :
donde K ( n ) = Πn -1
k = 1 k k es el K-función . Esta fórmula muestra una similitud entre A y π que quizás se ilustra mejor al observar la fórmula de Stirling :
lo que muestra que así como π se obtiene de la aproximación de la función Πn
k = 1 k , A también se puede obtener a partir de una aproximación similar a la función Πn
k = 1 k k .
Una definición equivalente para A que involucra la función G de Barnes , dada por G ( n ) = Πn -2
k = 1 k ! =[Γ ( n )] n -1/K ( n )donde Γ ( n ) es la función gamma es:
- .
La constante de Glaisher-Kinkelin también aparece en las evaluaciones de las derivadas de la función zeta de Riemann , como:
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . La última fórmula conduce directamente al siguiente producto encontrado por Glaisher :
Una fórmula de producto alternativa, definida sobre los números primos , dice [1]
donde p k denota el k- ésimo número primo .
Las siguientes son algunas integrales que involucran esta constante:
Una representación en serie para esta constante se sigue de una serie para la función zeta de Riemann dada por Helmut Hasse .
Referencias
- ^ Van Gorder, Robert A. (2012). "Productos de tipo Glaisher sobre los Primes". Revista Internacional de Teoría de Números . 08 (2): 543–550. doi : 10.1142 / S1793042112500297 .
- Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan (2008). "Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas a través de continuaciones analíticas de trascendente de Lerch". El diario Ramanujan . 16 (3): 247–270. arXiv : matemáticas.NT / 0506319 . doi : 10.1007 / s11139-007-9102-0 .
- Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan (2008). "Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas a través de continuaciones analíticas de trascendente de Lerch". Diario Ramanujan . 16 (3): 247–270. arXiv : matemáticas / 0506319 . doi : 10.1007 / s11139-007-9102-0 . (Proporciona una variedad de relaciones).
- Weisstein, Eric W. "Glaisher-Kinkelin Constant" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Función Zeta de Riemann" . MathWorld .