En física matemática , el teorema de Gleason muestra que la regla que se usa para calcular probabilidades en física cuántica , la regla de Born , puede derivarse de la representación matemática habitual de las mediciones en física cuántica junto con el supuesto de no contextualidad . Andrew M. Gleason demostró por primera vez el teorema en 1957, [1] respondiendo a una pregunta planteada por George W. Mackey , un logro que fue históricamente significativo por el papel que desempeñó al mostrar que amplias clases de teorías de variables ocultasson incompatibles con la física cuántica. Se han probado múltiples variaciones en los años posteriores. El teorema de Gleason es de particular importancia para el campo de la lógica cuántica y su intento de encontrar un conjunto mínimo de axiomas matemáticos para la teoría cuántica.
Declaración del teorema
Trasfondo conceptual
En mecánica cuántica, cada sistema físico está asociado con un espacio de Hilbert . Para los propósitos de esta descripción general, se supone que el espacio de Hilbert es de dimensión finita. En el enfoque codificado por John von Neumann , una medición en un sistema físico está representada por un operador autoadjunto en ese espacio de Hilbert que a veces se denomina "observable". Los autovectores de dicho operador forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert, y cada resultado posible de esa medición corresponde a uno de los vectores que comprenden la base. Un operador de densidad es un operador positivo-semidefinito en el espacio de Hilbert cuya traza es igual a 1. En el lenguaje de von Weizsäcker , un operador de densidad es un "catálogo de probabilidades": para cada medición que se puede definir, la distribución de probabilidad sobre los resultados de esa medición se pueden calcular a partir del operador de densidad. [2] El procedimiento para hacerlo es la regla de Born , que establece que
dónde es el operador de densidad, y es el operador de proyección sobre el vector base correspondiente al resultado de la medición.
La regla de Born asocia una probabilidad con cada vector unitario en el espacio de Hilbert, de tal manera que estas probabilidades suman 1 para cualquier conjunto de vectores unitarios que comprendan una base ortonormal. Además, la probabilidad asociada con un vector unitario es una función del operador de densidad y del vector unitario, y no de información adicional como una elección de base para que ese vector se incruste. El teorema de Gleason establece lo contrario: todas las asignaciones de probabilidades a los vectores unitarios (o, de manera equivalente, a los operadores que se proyectan sobre ellos) que satisfacen estas condiciones toman la forma de aplicar la regla de Born a algún operador de densidad. El teorema de Gleason se cumple si la dimensión del espacio de Hilbert es 3 o mayor; existen contraejemplos para la dimensión 2.
Derivando el espacio de estados y la regla de Born
La probabilidad de cualquier resultado de una medición en un sistema cuántico debe ser un número real entre 0 y 1 inclusive, y para ser consistente, para cualquier medición individual, las probabilidades de los diferentes resultados posibles deben sumar 1. El teorema de Gleason muestra que cualquier función que asigne probabilidades a los resultados de la medición, identificados por los operadores de proyección, debe ser expresable en términos de un operador de densidad y la regla de Born. Esto proporciona no solo la regla para calcular probabilidades, sino que también determina el conjunto de posibles estados cuánticos.
Dejar ser una función de los operadores de proyección al intervalo unitario con la propiedad de que, si un conjuntode operadores de proyección suman la matriz de identidad (es decir, si corresponden a una base ortonormal), entonces
Dicha función expresa una asignación de valores de probabilidad a los resultados de las mediciones, una asignación que es "no contextual" en el sentido de que la probabilidad de un resultado no depende de la medición en la que esté integrado ese resultado, sino solo de la representación matemática de ese resultado específico, es decir, su operador de proyección. [3] [4] : §1.3 [5] : §2.1 [6] El teorema de Gleason establece que para cualquier función, existe un operador positivo-semidefinido con traza unitaria tal que
Tanto la regla de Born como el hecho de que los "catálogos de probabilidad" son operadores positivos-semidefinitos de traza unitaria se derivan de los supuestos de que las medidas están representadas por bases ortonormales y que las asignaciones de probabilidad son "no contextuales". Para que el teorema de Gleason sea aplicable, el espacio en el que se definen las medidas debe ser un espacio de Hilbert real o complejo, o un módulo cuaterniónico . [a] (El argumento de Gleason es inaplicable si, por ejemplo, se intenta construir un análogo de la mecánica cuántica usando p -números ádicos ).
Historia y esquema de la prueba de Gleason
En 1932, John von Neumann también logró derivar la regla de Born en su libro de texto Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [ Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica ]. Sin embargo, las suposiciones sobre las que von Neumann construyó su prueba eran bastante sólidas y finalmente se consideró que no estaban bien motivadas. [14] Específicamente, von Neumann asumió que la función de probabilidad debe ser lineal en todos los observables, con o sin conmutación. Su prueba fue ridiculizada por John Bell como "¡no simplemente falsa sino tonta!". [15] [16] Gleason, por otro lado, no asumió la linealidad, sino simplemente la aditividad para los proyectores de conmutación junto con la no contextualidad, supuestos que se consideran mejor motivados y más significativos físicamente. [16] [17]
A finales de la década de 1940, George Mackey se había interesado por los fundamentos matemáticos de la física cuántica, y se preguntaba en particular si la regla de Born era la única regla posible para calcular probabilidades en una teoría que representaba las medidas como bases ortonormales en un espacio de Hilbert. [18] [19] Mackey discutió este problema con Irving Segal en la Universidad de Chicago , quien a su vez lo planteó con Richard Kadison , entonces un estudiante de posgrado. Kadison demostró que para los espacios de Hilbert bidimensionales existe una medida de probabilidad que no se corresponde con los estados cuánticos y la regla de Born. El resultado de Gleason implica que esto solo ocurre en la dimensión 2. [19]
La prueba original de Gleason se desarrolla en tres etapas. [20] : §2 En la terminología de Gleason, una función de trama es una función de valor real en la esfera unitaria de un espacio de Hilbert tal que
siempre que los vectores comprenden una base ortonormal. Una asignación de probabilidad no contextual como se define en la sección anterior es equivalente a una función de marco. [b] Cualquier medida de este tipo que pueda escribirse de forma estándar, es decir, aplicando la regla de Born a un estado cuántico, se denomina función de marco regular . Gleason deriva una secuencia de lemas sobre cuándo una función de marco es necesariamente regular, culminando en el teorema final. Primero, establece que toda función de cuadro continuo en el espacio de Hilbertes regular. Este paso hace uso de la teoría de armónicos esféricos . Luego, demuestra que el marco funciona en tienen que ser continuos, lo que establece el teorema para el caso especial de . Este paso se considera el más difícil de la prueba. [21] [22] Finalmente, muestra que el problema general se puede reducir a este caso especial. Gleason atribuye un lema utilizado en esta última etapa de la prueba a su estudiante de doctorado Richard Palais . [1] : fn 3
Robin Lyth Hudson describió el teorema de Gleason como "celebrado y notoriamente difícil". [23] Cooke, Keane y Moran luego produjeron una prueba que es más larga que la de Gleason pero requiere menos requisitos previos. [21]
Trascendencia
El teorema de Gleason destaca una serie de cuestiones fundamentales en la teoría de la medición cuántica. Como argumenta Fuchs , el teorema "es un resultado extremadamente poderoso", porque "indica hasta qué punto la regla de probabilidad de Born e incluso la estructura del espacio de estados de los operadores de densidad dependen de los otros postulados de la teoría". En consecuencia, la teoría cuántica es "un paquete más ajustado de lo que uno podría haber pensado en un principio". [24] : 94-95 En consecuencia, varios enfoques para derivar el formalismo cuántico a partir de axiomas alternativos han empleado el teorema de Gleason como un paso clave, tendiendo un puente entre la estructura del espacio de Hilbert y la regla de Born. [3] [12] : §2 [25] [26] : §1.4
Variables ocultas
Además, el teorema es históricamente significativo por el papel que jugó al descartar la posibilidad de variables ocultas en la mecánica cuántica. Una teoría de variables ocultas que es determinista implica que la probabilidad de un resultado dado es siempre 0 o 1. Por ejemplo, una medición de Stern-Gerlach en un átomo de espín-1 informará que el momento angular del átomo a lo largo del eje elegido es uno. de tres valores posibles, que se pueden designar, y . En una teoría determinista de variables ocultas, existe una propiedad física subyacente que fija el resultado encontrado en la medición. Condicional al valor de la propiedad física subyacente, cualquier resultado dado (por ejemplo, un resultado de) debe ser imposible o garantizado. Pero el teorema de Gleason implica que no puede haber tal medida de probabilidad determinista. El mapeoes continuo en la esfera unitaria del espacio de Hilbert para cualquier operador de densidad. Dado que esta esfera unitaria está conectada , ninguna medida de probabilidad continua en ella puede ser determinista. [26] : §1.3 El teorema de Gleason sugiere, por tanto, que la teoría cuántica representa una desviación profunda y fundamental de la intuición clásica de que la incertidumbre se debe a la ignorancia sobre los grados de libertad ocultos. [27] Más específicamente, el teorema de Gleason descarta los modelos de variables ocultas que son "no contextuales". Cualquier modelo de variables ocultas para la mecánica cuántica debe, para evitar las implicaciones del teorema de Gleason, involucrar variables ocultas que no son propiedades que pertenecen solo al sistema medido, sino que también dependen del contexto externo en el que se realiza la medición. Este tipo de dependencia a menudo se considera artificial o indeseable; en algunos entornos, es incompatible con la relatividad especial . [27] [28]
Para construir un contraejemplo para el espacio de Hilbert bidimensional, conocido como qubit , deje que la variable oculta sea un vector unitarioen el espacio euclidiano tridimensional. Usando la esfera de Bloch , cada posible medición en un qubit se puede representar como un par de puntos antípodas en la esfera unitaria. Definir la probabilidad de un resultado de medición en 1 si el punto que representa ese resultado se encuentra en el mismo hemisferio quey 0 de lo contrario produce una asignación de probabilidades a los resultados de la medición que obedece a los supuestos de Gleason. Sin embargo, esta asignación de probabilidad no corresponde a ningún operador de densidad válido. Introduciendo una distribución de probabilidad sobre los posibles valores de, se puede construir un modelo de variables ocultas para un qubit que reproduce las predicciones de la teoría cuántica. [27] [29]
El teorema de Gleason motivó un trabajo posterior de John Bell , Ernst Specker y Simon Kochen que condujo al resultado a menudo llamado teorema de Kochen-Specker , que también muestra que los modelos de variables ocultas no contextuales son incompatibles con la mecánica cuántica. Como se señaló anteriormente, el teorema de Gleason muestra que no existe una medida de probabilidad sobre los rayos de un espacio de Hilbert que solo tome los valores 0 y 1 (siempre que la dimensión de ese espacio exceda 2). El teorema de Kochen-Specker refina este enunciado construyendo un subconjunto finito específico de rayos en el que no se puede definir tal medida de probabilidad. [27] [30] El hecho de que un subconjunto finito de rayos debe existir se sigue del teorema de Gleason por medio de un argumento de compacidad lógica , pero este método no construye el conjunto deseado explícitamente. [20] : §1 En el resultado relacionado sin variables ocultas conocido como teorema de Bell , la suposición de que la teoría de la variable oculta es no contextual en cambio se reemplaza por la suposición de que es local . Los mismos conjuntos de rayos utilizados en las construcciones de Kochen-Specker también se pueden emplear para derivar pruebas de tipo Bell. [27] [31] [32]
Pitowsky usa el teorema de Gleason para argumentar que la mecánica cuántica representa una nueva teoría de la probabilidad, una en la que la estructura del espacio de eventos posibles se modifica a partir de su álgebra booleana clásica. Considera que esto es análogo a la forma en que la relatividad especial modifica la cinemática de la mecánica newtoniana . [4] [5]
Los teoremas de Gleason y Kochen-Specker se han citado en apoyo de varias filosofías, incluido el perspectivismo , el empirismo constructivo y el realismo agencial . [33] [34] [35]
Lógica cuántica
El teorema de Gleason encuentra aplicación en la lógica cuántica, que hace un uso intensivo de la teoría de la red . La lógica cuántica trata el resultado de una medición cuántica como una proposición lógica y estudia las relaciones y estructuras formadas por estas proposiciones lógicas. Están organizados en una red, en la que la ley distributiva , válida en la lógica clásica, se debilita, para reflejar el hecho de que en la física cuántica no todos los pares de cantidades pueden medirse simultáneamente . [36] El teorema de la representación en lógica cuántica muestra que dicha red es isomorfa a la red de subespacios de un espacio vectorial con un producto escalar . [5] : §2 Utilizando el teorema de Solèr, se puede demostrar que el campo K sobre el que se define el espacio vectorial, con hipótesis adicionales, son los números reales , los números complejos o los cuaterniones , como es necesario para que se mantenga el teorema de Gleason. . [12] : §3 [37] [38]
Al invocar el teorema de Gleason, se puede restringir la forma de una función de probabilidad en elementos de la red. Suponiendo que el mapeo de elementos de celosía a probabilidades no es contextual, el teorema de Gleason establece que debe ser expresable con la regla de Born.
Generalizaciones
Gleason probó originalmente el teorema asumiendo que las medidas aplicadas al sistema son del tipo von Neumann, es decir, que cada medida posible corresponde a una base ortonormal del espacio de Hilbert. Posteriormente, Busch [39] e independientemente Caves et al. [24] : 116 [40] demostró un resultado análogo para una clase más general de medidas, conocidas como medidas positivas valoradas por el operador (POVM, por sus siglas en inglés). El conjunto de todos los POVM incluye el conjunto de medidas de von Neumann, por lo que los supuestos de este teorema son significativamente más fuertes que los de Gleason. Esto hizo que la prueba de este resultado fuera más simple que la de Gleason y que las conclusiones fueran más fuertes. A diferencia del teorema original de Gleason, la versión generalizada que usa POVM también se aplica al caso de un solo qubit. [41] [42] Asumir la no contextualidad para los POVM es, sin embargo, controvertido, ya que los POVM no son fundamentales, y algunos autores defienden que la no contextualidad debe asumirse solo para las mediciones de von Neumann subyacentes. [43] El teorema de Gleason, en su versión original, no se cumple si el espacio de Hilbert se define sobre los números racionales , es decir, si las componentes de los vectores en el espacio de Hilbert están restringidas a números racionales o números complejos con partes racionales. Sin embargo, cuando el conjunto de medidas permitidas es el conjunto de todos los POVM, el teorema se cumple. [40] : §3.D
La prueba original de Gleason no era constructiva : una de las ideas de las que depende es el hecho de que toda función continua definida en un espacio compacto alcanza su mínimo . Debido a que no se puede en todos los casos mostrar explícitamente dónde ocurre el mínimo, una prueba que se base en este principio no será una prueba constructiva. Sin embargo, el teorema se puede reformular de tal manera que se pueda encontrar una demostración constructiva. [20] [44]
El teorema de Gleason se puede extender a algunos casos en los que los observables de la teoría forman un álgebra de von Neumann . Específicamente, se puede demostrar que un análogo del resultado de Gleason es válido si el álgebra de observables no tiene un sumando directo que sea representable como el álgebra de matrices 2 × 2 sobre un álgebra de von Neumann conmutativa (es decir, sin un sumando directo de tipo I 2 ). En esencia, la única barrera para probar el teorema es el hecho de que el resultado original de Gleason no se cumple cuando el espacio de Hilbert es el de un qubit. [45]
Notas
- ↑ Para una discusión adicional sobre este punto, ver Piron, [7] : §6 Drisch, [8] Horwitz y Biedenharn, [9] Razon y Horwitz, [10] Varadarajan, [11] : 83 Cassinelli y Lahti, [12] : §2 y Moretti y Oppio. [13]
- ^ Gleason permite la posibilidad de que una función de marco se normalice a una constante distinta de 1, pero centrarse en el caso de "peso unitario" como se hace aquí no da como resultado ninguna pérdida de generalidad .
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