ley de reciprocidad artin

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La ley de reciprocidad de Artin , que fue establecida por Emil Artin en una serie de artículos (1924; 1927; 1930), es un teorema general en la teoría de números que forma una parte central de la teoría de campos de clase global . ^[1] El término " ley de reciprocidad " se refiere a una larga línea de declaraciones teóricas de números más concretas que generalizó, desde la ley de reciprocidad cuadrática y las leyes de reciprocidad de Eisenstein y Kummer hasta la fórmula del producto de Hilbert para el símbolo de la norma . El resultado de Artin proporcionó una solución parcial al noveno problema de Hilbert .

Sea L ⁄ K una extensión de Galois de campos globales y C _L represente el grupo de clase idèle de L . Una de las declaraciones de la ley de reciprocidad de Artin es que existe un isomorfismo canónico llamado mapa global de símbolos ^{[2] [3]}

donde ab denota la abelianización de un grupo. El mapa se define ensamblando los mapas denominados símbolo local de Artin , mapa de reciprocidad local o símbolo de residuo de norma ^{[4] [5]}${\ estilo de visualización \ theta}$

para diferentes lugares v de K . Más precisamente, viene dada por los mapas locales sobre la componente v de una clase idèle. Los mapas son isomorfismos. Este es el contenido de la ley de reciprocidad local , un teorema principal de la teoría del campo de clase local .${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización \ theta _ {v}}$${\ estilo de visualización \ theta _ {v}}$

donde denotan los grupos de cohomología de Tate . La elaboración de los grupos de cohomología establece que θ es un isomorfismo.${\displaystyle {\sombrero {H}}^{i}}$

La ley de reciprocidad de Artin implica una descripción de la abelianización del grupo absoluto de Galois de un campo global K que se basa en el principio local-global de Hasse y el uso de los elementos de Frobenius . Junto con el teorema de existencia de Takagi , se utiliza para describir las extensiones abelianas de K en términos de la aritmética de K y para comprender el comportamiento de los lugares no arquimedianos en ellas. Por lo tanto, la ley de reciprocidad de Artin puede interpretarse como uno de los principales teoremas de la teoría del campo de clase global. Se puede usar para demostrar queLas funciones L de Artin son meromórficas y para la prueba del teorema de densidad de Chebotarev . ^[7]

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