En las matemáticas , Helmut Hasse 's principio local-global , también conocido como el principio de Hasse , es la idea de que uno puede encontrar una solución entera a una ecuación usando el teorema chino del resto de piezas soluciones juntos modulo poderes de cada uno diferente número primo . Esto se maneja examinando la ecuación en las terminaciones de los números racionales : los números reales y los números p -ádicos . Una versión más formal del principio de Hasse establece que ciertos tipos de ecuaciones tienen una solución racionalsi y solo si tienen una solución en los números reales y en los números p -ádicos para cada primo p .
Intuición
Dada una ecuación polinomial con coeficientes racionales, si tiene una solución racional, entonces esto también produce una solución real y una solución p -ádica, ya que los racionales se incrustan en los reales y p -ádicos: una solución global produce soluciones locales en cada primo . El principio de Hasse pregunta cuándo se puede hacer lo contrario, o más bien, pregunta cuál es la obstrucción: cuándo se pueden juntar soluciones sobre los reales y los p- ádicos para producir una solución sobre los racionales: cuándo se pueden unir las soluciones locales para formar un solución global?
Se puede pedir esto para otros anillos o campos: números enteros, por ejemplo, o campos numéricos . Para campos numéricos, en lugar de reales y p -ádicos, se utilizan incrustaciones complejas y-adics, por ideales primordiales .
Formas que representan 0
Formas cuadráticas
El teorema de Hasse-Minkowski establece que el principio local-global es válido para el problema de representar 0 mediante formas cuadráticas sobre los números racionales (que es el resultado de Minkowski ); y más generalmente sobre cualquier campo numérico (como lo demostró Hasse), cuando se utilizan todas las condiciones necesarias del campo local apropiado . El teorema de Hasse sobre extensiones cíclicas establece que el principio local-global se aplica a la condición de ser una norma relativa para una extensión cíclica de campos numéricos.
Formas cúbicas
Un contraejemplo de Ernst S. Selmer muestra que el teorema de Hasse-Minkowski no puede extenderse a formas de grado 3: la ecuación cúbica 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 tiene una solución en números reales, y en todo p -adic campos, pero no tiene una solución no trivial en el que X , y , y Z son todos los números racionales. [1]
Roger Heath-Brown mostró [2] que cada forma cúbica sobre los números enteros en al menos 14 variables representa 0, mejorando los resultados anteriores de Davenport . [3] Dado que cada forma cúbica sobre los números p-ádicos con al menos diez variables representa 0, [2] el principio local-global se cumple trivialmente para las formas cúbicas sobre los racionales en al menos 14 variables.
Restringiendo a formas no singulares, se puede hacer mejor que esto: Heath-Brown demostró que cada forma cúbica no singular sobre los números racionales en al menos 10 variables representa 0, [4] estableciendo así trivialmente el principio de Hasse para esta clase de formas. Se sabe que el resultado de Heath-Brown es mejor posible en el sentido de que existen formas cúbicas no singulares sobre los racionales en 9 variables que no representan cero. [5] Sin embargo, Hooley demostró que el principio de Hasse es válido para la representación de 0 mediante formas cúbicas no singulares sobre los números racionales en al menos nueve variables. [6] Davenport, Heath-Brown y Hooley utilizaron el método circular de Hardy-Littlewood en sus pruebas. Según una idea de Manin , las obstrucciones al principio de Hasse que sostienen las formas cúbicas pueden vincularse a la teoría del grupo de Brauer ; esta es la obstrucción de Brauer-Manin , que explica completamente el fracaso del principio de Hasse para algunas clases de variedad. Sin embargo, Skorobogatov ha demostrado que la obstrucción de Brauer-Manin no puede explicar todos los fallos del principio de Hasse. [7]
Formas de grado superior
Los contraejemplos de Fujiwara y Sudo muestran que el teorema de Hasse-Minkowski no es extensible a formas de grado 10 n + 5, donde n es un número entero no negativo. [8]
Por otro lado, el teorema de Birch muestra que si d es un número natural impar, entonces hay un número N ( d ) tal que cualquier forma de grado d en más de N ( d ) variables representa 0: el principio de Hasse es trivial.
Teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether
El Albert-Brauer-Hasse-Noether teorema establece un principio local-global de la división de un álgebra simple central de A sobre un campo de números algebraicos K . Se establece que si una se divide sobre cada finalización K v entonces es isomorfo a un álgebra de matrices sobre K .
Principio de Hasse para grupos algebraicos
El principio de Hasse para grupos algebraicos establece que si G es un grupo algebraico simplemente conectado definido sobre el campo global k, entonces el mapa de
es inyectivo, donde el producto está sobre todos los lugares s de k .
El principio de Hasse para grupos ortogonales está estrechamente relacionado con el principio de Hasse para las formas cuadráticas correspondientes.
Kneser (1966) y varios otros verificaron el principio de Hasse mediante pruebas caso por caso para cada grupo. El último caso fue el grupo E 8, que sólo Chernousov (1989) completó muchos años después de los otros casos.
El principio de Hasse para grupos algebraicos se utilizó en las demostraciones de la conjetura de Weil para números de Tamagawa y el teorema de aproximación fuerte .
Ver también
- Análisis local
- Teorema de Grunwald-Wang
- Conjetura de la curvatura p de Grothendieck-Katz
Notas
- ^ Ernst S. Selmer (1951). "La ecuación diofántica ax 3 + por 3 + cz 3 = 0" . Acta Mathematica . 85 : 203–362. doi : 10.1007 / BF02395746 .
- ^ a b DR Heath-Brown (2007). "Formas cúbicas en 14 variables". Inventar. Matemáticas . 170 (1): 199–230. Código Bibliográfico : 2007InMat.170..199H . doi : 10.1007 / s00222-007-0062-1 .
- ^ H. Davenport (1963). "Formas cúbicas en dieciséis variables". Proceedings of the Royal Society A . 272 (1350): 285-303. Código bibliográfico : 1963RSPSA.272..285D . doi : 10.1098 / rspa.1963.0054 .
- ^ DR Heath-Brown (1983). "Formas cúbicas en diez variables". Actas de la London Mathematical Society . 47 (2): 225–257. doi : 10.1112 / plms / s3-47.2.225 .
- ^ LJ Mordell (1937). "Un comentario sobre ecuaciones indeterminadas en varias variables". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 12 (2): 127-129. doi : 10.1112 / jlms / s1-12.1.127 .
- ^ C. Hooley (1988). "Sobre formas cúbicas nonarias". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 386 : 32–98.
- ^ Alexei N. Skorobogatov (1999). "Más allá de la obstrucción de Manin". Inventar. Matemáticas . 135 (2): 399–424. arXiv : alg-geom / 9711006 . Código Bibliográfico : 1999InMat.135..399S . doi : 10.1007 / s002220050291 .
- ^ M. Fujiwara ; M. Sudo (1976). "Algunas formas de grado extraño para las que falla el principio de Hasse" . Pacific Journal of Mathematics . 67 (1): 161–169. doi : 10.2140 / pjm.1976.67.161 .
Referencias
- Chernousov, VI (1989), "El principio de Hasse para grupos de tipo E8", Matemáticas soviéticas. Dokl. , 39 : 592–596, MR 1014762
- Kneser, Martin (1966), "Principio de Hasse para H¹ de grupos simplemente conectados", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colorado, 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 159-163, SR. 0220736
- Serge Lang (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . pp. 250 -258. ISBN 3-540-61223-8.
- Alexei Skorobogatov (2001). Torsores y puntos racionales . Cambridge Tracts in Mathematics. 144 . Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. págs. 1-7, 112 . ISBN 0-521-80237-7.
enlaces externos
- "Principio de Hasse" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Artículo PlanetMath
- Swinnerton-Dyer, Ecuaciones diofánticas: Progreso y problemas , notas en línea
- J. Franklin, Global and local , Mathematical Intelligencer 36 (4) (diciembre de 2014), 4-9.