La conjetura de Goldbach es uno de los más antiguos y más conocidos problemas sin resolver en la teoría de números y todas las matemáticas . Establece que todo número entero par mayor que 2 es la suma de dos números primos . [2]
Campo | Teoría de los números |
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Conjeturado por | Christian Goldbach |
Conjeturado en | 1742 |
Problema abierto | sí |
Consecuencias | La conjetura débil de Goldbach |
Se ha demostrado que la conjetura es válida para todos los números enteros menores de 4 × 10 18 , [3] pero sigue sin demostrarse a pesar de un esfuerzo considerable.
Orígenes
El 7 de junio de 1742, el matemático alemán Christian Goldbach escribió una carta a Leonhard Euler (carta XLIII), [4] en la que proponía la siguiente conjetura:
- Cada entero que se puede escribir como la suma de dos primos también se puede escribir como la suma de tantos primos como se desee, hasta que todos los términos sean unidades.
Goldbach estaba siguiendo la convención ahora abandonada de considerar 1 como un número primo , [2] de modo que una suma de unidades sería de hecho una suma de primos. Luego propuso una segunda conjetura en el margen de su carta, que fácilmente se ve que implica la primera:
- Todo número entero mayor que 2 se puede escribir como la suma de tres números primos. [5]
Euler respondió en una carta fechada el 30 de junio de 1742 [6] y le recordó a Goldbach una conversación anterior que habían tenido ( "... so Ew vormals mit mir communicirt haben ..." ), en la que Goldbach había comentado que la primera de esas dos conjeturas seguiría de la declaración
- Todo entero par positivo se puede escribir como la suma de dos números primos.
De hecho, esto es equivalente a su segunda conjetura marginal. En la carta fechada el 30 de junio de 1742, Euler declaró: [7] [8]
Dass… ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, detener ich für ein ganz gewisses teorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demontriren kann.
Que ... cada entero par es una suma de dos primos, lo considero un teorema completamente cierto, aunque no puedo probarlo.
Cada una de las tres conjeturas anteriores tiene una analogía natural en términos de la definición moderna de primo, bajo la cual 1 está excluido. Una versión moderna de la primera conjetura es:
- Cada número entero que se puede escribir como la suma de dos números primos también se puede escribir como la suma de tantos números primos como se desee, hasta que todos los términos sean dos (si el número entero es par) o un término es tres y todos los demás términos son dos (si el número entero es impar).
Una versión moderna de la conjetura marginal es:
- Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos .
Y una versión moderna de la conjetura más antigua de Goldbach que Euler le recordó es:
- Todo entero par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos .
Es posible que estas versiones modernas no sean completamente equivalentes a las declaraciones originales correspondientes. Por ejemplo, si hubiera un número entero par mayor que 4, para un primo, que no podría expresarse como la suma de dos primos en el sentido moderno, entonces sería un contraejemplo de la versión moderna (sin ser, por supuesto, un contraejemplo de la versión original) de la tercera conjetura. Por lo tanto, la versión moderna es probablemente más fuerte (pero para confirmar eso, uno tendría que demostrar que la primera versión, aplicada libremente a cualquier entero positivo par, no podría descartar la existencia de un contraejemplo tan específico ). En cualquier caso, los enunciados modernos tienen las mismas relaciones entre sí que los enunciados más antiguos. Es decir, el segundo y tercer enunciado moderno son equivalentes y cualquiera de los dos implica el primer enunciado moderno.
El tercer enunciado moderno (equivalente al segundo) es la forma en que normalmente se expresa la conjetura en la actualidad. También se conoce como la conjetura de Goldbach " fuerte ", "uniforme" o "binaria". Una forma más débil de la segunda declaración moderna, conocida como " conjetura débil de Goldbach ", la "conjetura extraña de Goldbach" o la "conjetura ternaria de Goldbach", afirma que
- Cada entero impar mayor que 7 se puede escribir como la suma de tres primos impares ,
Harald Helfgott propuso en 2013 una prueba de la conjetura débil . La prueba de Helfgott aún no ha aparecido en una publicación revisada por pares, aunque fue aceptada para su publicación en la serie Annals of Mathematics Studies en 2015, y desde entonces se ha estado revisando y revisando más. [9] [10] [11] Note que la conjetura débil sería un corolario de la conjetura fuerte: si n - 3 es una suma de dos primos, entonces n es una suma de tres primos. Pero la implicación inversa y, por tanto, la fuerte conjetura de Goldbach siguen sin demostrarse.
Resultados verificados
Para valores pequeños de n , la conjetura fuerte de Goldbach (y por lo tanto la conjetura débil de Goldbach) se puede verificar directamente. Por ejemplo, Nils Pipping en 1938 verificó laboriosamente la conjetura hasta n ≤ 10 5 . [12] Con la llegada de las computadoras, se han verificado muchos más valores de n ; T. Oliveira e Silva ejecutó una búsqueda distribuida en computadora que ha verificado la conjetura para n ≤ 4 × 10 18 (y comprobó dos veces hasta 4 × 10 17 ) a partir de 2013. Un registro de esta búsqueda es que3 325 581 707 333 960 528 es el número más pequeño que no se puede escribir como una suma de dos primos donde uno es menor que 9781. [13]
Justificación heurística
Las consideraciones estadísticas que se centran en la distribución probabilística de los números primos presentan evidencia informal a favor de la conjetura (tanto en la forma débil como en la fuerte) para números enteros suficientemente grandes : cuanto mayor es el número entero, más formas hay disponibles para representar ese número. como la suma de otros dos o tres números, y es más "probable" que al menos una de estas representaciones consista enteramente en números primos.
Una versión muy burda del argumento probabilístico heurístico (para la forma fuerte de la conjetura de Goldbach) es la siguiente. El teorema de los números primos afirma que un entero m seleccionado al azar tiene aproximadamente unaposibilidad de ser prime. Así, si n es un número entero grande incluso y m es un número entre 3 y n / 2, entonces se podría esperar que la probabilidad de que m y n - m siendo a la vez privilegiada para ser. Si uno persigue esta heurística, podría esperar que el número total de formas de escribir un entero par grande n como la suma de dos primos impares sea aproximadamente
Dado que esta cantidad llega al infinito cuando n aumenta, esperamos que todo entero par grande no tenga una sola representación como la suma de dos números primos, sino que, de hecho, tenga muchas representaciones de este tipo.
Este argumento heurístico es en realidad algo inexacto, porque se supone que los acontecimientos de m y n - m siendo primordial son estadísticamente independientes el uno del otro. Por ejemplo, si m es impar, entonces n - m también es impar, y si m es par, entonces n - m es par, una relación no trivial porque, además del número 2, solo los números impares pueden ser primos. De manera similar, si n es divisible por 3, y m ya era un número primo distinto de 3, entonces n - m también sería coprimo de 3 y, por lo tanto, sería un poco más probable que sea primo que un número general. Siguiendo este tipo de análisis con más cuidado, Hardy y Littlewood en 1923 conjeturaron (como parte de su famosa conjetura de tuplas de primos de Hardy-Littlewood ) que para cualquier c fijo ≥ 2, el número de representaciones de un entero grande n como la suma de c primos con debe ser asintóticamente igual a
donde el producto está sobre todos los primos p , y es el número de soluciones de la ecuación en aritmética modular , sujeto a las limitaciones . Se ha demostrado rigurosamente que esta fórmula es asintóticamente válida para c ≥ 3 a partir del trabajo de Vinogradov , pero sigue siendo solo una conjetura cuando. [ cita requerida ] En el último caso, la fórmula anterior se simplifica a 0 cuando n es impar, y a
cuando n es par, dondees la constante prima gemela de Hardy-Littlewood
Esto a veces se conoce como la conjetura ampliada de Goldbach . La fuerte conjetura de Goldbach es de hecho muy similar a la conjetura de los primos gemelos , y se cree que las dos conjeturas tienen una dificultad aproximadamente comparable.
Las funciones de partición de Goldbach que se muestran aquí se pueden mostrar como histogramas, que ilustran de manera informativa las ecuaciones anteriores. Vea el cometa de Goldbach . [14]
Resultados rigurosos
La conjetura fuerte de Goldbach es mucho más difícil que la conjetura débil de Goldbach . Utilizando el método de Vinogradov , Chudakov , [15] Van der Corput , [16] y Estermann [17] demostraron que casi todos los números pares pueden escribirse como la suma de dos primos (en el sentido de que la fracción de números pares que puede estar así escrito tiende a 1). En 1930, Lev Schnirelmann demostró [18] [19] que cualquier número natural mayor que 1 puede escribirse como la suma de no más de C números primos, donde C es una constante efectivamente computable, ver densidad de Schnirelmann . La constante de Schnirelmann es el número C más bajo con esta propiedad. El propio Schnirelmann obtuvo C < 800 000 . Este resultado fue posteriormente reforzado por muchos autores, como Olivier Ramaré , quien en 1995 demostró que todo número par n ≥ 4 es de hecho la suma de como máximo 6 primos. El resultado más conocido actualmente proviene de la demostración de la conjetura débil de Goldbach por Harald Helfgott , [20] que implica directamente que todo número par n ≥ 4 es la suma de como máximo 4 primos. [21] [22]
En 1924, Hardy y Littlewood demostraron, bajo el supuesto de la hipótesis generalizada de Riemann, que la cantidad de números pares hasta X que violan la conjetura de Goldbach es mucho menor que para pequeños c . [23]
Chen Jingrun demostró en 1973 utilizando los métodos de la teoría del tamiz que todo número par suficientemente grande se puede escribir como la suma de dos primos, o un primo y un semiprimo (el producto de dos primos). [24] Consulte el teorema de Chen para obtener más información.
En 1975, Hugh Montgomery y Robert Charles Vaughan demostraron que "la mayoría" de los números pares se pueden expresar como la suma de dos números primos. Más precisamente, demostraron que existen constantes positivas c y C de tal manera que para todos los suficientemente grandes números N , cada número incluso menor que N es la suma de dos números primos, con a lo sumoexcepciones. En particular, el conjunto de enteros pares que no son la suma de dos primos tiene densidad cero.
En 1951, Linnik demostró la existencia de una constante K tal que todo número par suficientemente grande es la suma de dos primos y como máximo K potencias de 2. Roger Heath-Brown y Jan-Christoph Schlage-Puchta en 2002 encontraron que K = 13 obras. [25]
Como ocurre con muchas conjeturas famosas en matemáticas, hay una serie de supuestas demostraciones de la conjetura de Goldbach, ninguna de las cuales es aceptada por la comunidad matemática.
Problemas relacionados
Aunque la conjetura de Goldbach implica que cada entero positivo mayor que uno puede escribirse como una suma de como máximo tres números primos, no siempre es posible encontrar dicha suma usando un algoritmo codicioso que use el mayor primo posible en cada paso. La secuencia de Pillai rastrea los números que requieren el mayor número de primos en sus codiciosas representaciones. [26]
Se pueden considerar problemas similares en los que los números primos se reemplazan por otros conjuntos particulares de números, como los cuadrados.
- Lagrange demostró que todo entero positivo es la suma de cuatro cuadrados . Véase el problema de Waring y el problema relacionado de Waring-Goldbach sobre sumas de potencias de números primos.
- Hardy y Littlewood enumeraron como su Conjetura I: " Todo número impar grande ( n > 5) es la suma de un primo y el doble de un primo " ( Mathematics Magazine , 66.1 (1993): 45-47). Esta conjetura se conoce como conjetura de Lemoine (también llamada conjetura de Levy ).
- La conjetura de Goldbach para los números prácticos , una secuencia de enteros en forma de primos, fue enunciada por Margenstern en 1984, [27] y probada por Melfi en 1996: [28] cada número par es una suma de dos números prácticos.
En la cultura popular
La conjetura de Goldbach ( chino :哥德巴赫 猜想) es el título de la biografía del matemático y teórico de números chino Chen Jingrun , escrita por Xu Chi .
La conjetura es un punto central en la trama de la novela de 1992 El tío Petros y la conjetura de Goldbach del autor griego Apostolos Doxiadis , en el cuento " Sixty Million Trillion Combinations " de Isaac Asimov y también en la novela de misterio de 2008 No One You Know de Michelle. Richmond . [29]
La conjetura de Goldbach forma parte de la trama de la película española Fermat's Room de 2007 .
Referencias
- ↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, págs. 125-129 .
- ↑ a b Weisstein, Eric W. "Conjetura de Goldbach" . MathWorld .
- ^ Silva, Tomás Oliveira e. "Verificación de la conjetura de Goldbach" . www.ieeta.pt .
- ^ http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf
- ^ En la versión impresa publicada por PH Fuss [1] 2 está malimpresocomo 1 en la conjetura marginal.
- ^ http://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0766.pdf
- ^ Ingham, AE "Conferencias populares" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 16 de junio de 2003 . Consultado el 23 de septiembre de 2009 .
- ^ Caldwell, Chris (2008). "Conjetura de Goldbach" . Consultado el 13 de agosto de 2008 .
- ^ Helfgott, HA (2013). "Arcos principales del teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [ matemáticas.NT ].
- ^ Helfgott, HA (2012). "Arcos menores para el problema de Goldbach". arXiv : 1205.5252 [ matemáticas.NT ].
- ^ "Harald Andrés Helfgott" . webusers.imj-prg.fr . Consultado el 6 de abril de 2021 .
- ^ Pipping, Nils (1890-1982), "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradowsche Satz". Acta Acad. Aboensis, matemáticas. Phys. 11, 4–25, 1938.
- ^ Tomás Oliveira e Silva, Verificación de la conjetura de Goldbach . Consultado el 20 de julio de 2013.
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- ↑ Ver, por ejemplo, Una nueva fórmula explícita en la teoría aditiva de números primos con aplicaciones I. La fórmula explícita para los problemas de los primos gemelos de Goldbach y generalizados de Janos Pintz.
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Otras lecturas
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- Montgomery, HL; Vaughan, RC (1975). "El conjunto excepcional en el problema de Goldbach" (PDF) . Acta Arithmetica . 27 : 353–370. doi : 10.4064 / aa-27-1-353-370 .
- Terence Tao demostró que todos los números impares son como máximo la suma de cinco primos .
- Conjetura de Goldbach en MathWorld .
enlaces externos
- Medios relacionados con la conjetura de Goldbach en Wikimedia Commons
- "Problema de Goldbach" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Carta original de Goldbach a Euler - formato PDF (en alemán y latín)
- La conjetura de Goldbach , parte de Prime Pages de Chris Caldwell.
- Verificación de la conjetura de Goldbach , búsqueda computarizada distribuida de Tomás Oliveira e Silva.