Elemento de anillo que se puede multiplicar por un elemento distinto de cero para que sea igual a 0
En álgebra abstracta , un elemento a de un anillo R se llama divisor cero izquierdo si existe una x distinta de cero en R tal que ax = 0 , [1] o de manera equivalente si el mapa de R a R que envía x a ax no es inyectable . [a] De manera similar, un elemento a de un anillo se llama divisor de cero recto si existe una y distinta de cero en R tal queya = 0 . Este es un caso parcial de divisibilidad en anillos. Un elemento que es un divisor de cero a la izquierda o a la derecha se llama simplemente divisor de cero . [2] Un elemento una que es tanto una izquierda y una derecha divisor de cero se denomina dos caras divisor de cero (el distinto de cero x tal que ax = 0 puede ser diferente de la distinto de cero y de tal manera que ya = 0 ). Si el anillo es conmutativo , los divisores cero izquierdo y derecho son iguales.
Un elemento de un anillo que no es un divisor de cero a la izquierda se llama regular izquierdo o cancelable a la izquierda . De manera similar, un elemento de un anillo que no es un divisor de cero a la derecha se llama regular a la derecha o cancelable a la derecha . Un elemento de un anillo que se puede cancelar por la izquierda y la derecha y, por lo tanto, no es un divisor de cero, se llama regular o cancelable , [3] o un divisor distinto de cero . Un divisor de cero distinto de cero se denomina divisor de cero distinto de cero o divisor de cero no trivial . Un anillo distinto de cero sin divisores de cero no triviales se llama dominio .
Un elemento nilpotente de un anillo distinto de cero es siempre un divisor de cero de dos lados.
Un elemento idempotente de un anillo es siempre un divisor de cero de dos lados, ya que .
El anillo de matrices sobre un campo tiene divisores de cero distintos de cero si . Aquí se muestran ejemplos de divisores cero en el anillo de matrices (sobre cualquier anillo distinto de cero ):
.
Un producto directo de dos o más anillos distintos de cero siempre tiene divisores de cero distintos de cero. Por ejemplo, con cada uno distinto de cero , entonces es un divisor de cero.
Sea un campo y sea un grupo . Supongamos que tiene un elemento de orden finito . Luego, en el anillo de grupo, uno tiene , sin que ningún factor sea cero, por lo que es un divisor de cero distinto de cero en .
Divisor de cero unilateral
Considere el anillo de matrices (formales) con y . Entonces y . Si , entonces es un divisor de cero a la izquierda si y solo si es par, ya que , y es un divisor de cero a la derecha si y solo si es par por razones similares. Si cualquiera de los dos lo es , entonces es un divisor de cero de dos lados.
Aquí hay otro ejemplo de un anillo con un elemento que es un divisor de cero en un solo lado. Sea el conjunto de todas las secuencias de números enteros . Tome para el anillo todos los mapas aditivos de a , con la adición y composición puntuales como las operaciones del anillo. (Es decir, nuestro anillo es el anillo de endomorfismo del grupo aditivo ). Tres ejemplos de elementos de este anillo son el desplazamiento a la derecha , el desplazamiento a la izquierda y el mapa de proyección sobre el primer factor . Los tres mapas aditivos no son cero, y los compuestosy ambos son cero, por lo que es un divisor de cero a la izquierda y es un divisor de cero a la derecha en el anillo de mapas aditivos de a . Sin embargo, no es un divisor de cero a la derecha y no es un divisor de cero a la izquierda: el compuesto es la identidad. es un divisor de cero de dos lados ya que , while no está en ninguna dirección.
No ejemplos
El anillo de números enteros módulo un número primo no tiene divisores de cero distintos de 0. Dado que cada elemento distinto de cero es una unidad , este anillo es un campo finito .
De manera más general, un anillo de división no tiene divisores de cero excepto 0.
Un anillo conmutativo distinto de cero cuyo único divisor de cero es 0 se denomina dominio integral .
Propiedades
En el anillo de n- por- n matrices sobre un campo , los divisores cero izquierdo y derecho coinciden; son precisamente las matrices singulares . En el anillo de n- por- n matrices sobre un dominio integral , los divisores de cero son precisamente las matrices con determinante cero .
Los divisores de cero izquierdo o derecho nunca pueden ser unidades , porque si a es invertible y ax = 0 para alguna x distinta de cero , entonces 0 = a −1 0 = a −1 ax = x , una contradicción.
Un elemento es cancelable en el lado en el que es regular. Es decir, si a es una regular de la izquierda, ax = ay implica que x = y , y de manera similar para la regular de la derecha.
Cero como divisor de cero
No hay necesidad de una convención separada para el caso a = 0 , porque la definición también se aplica en este caso:
Si R es un anillo distinto del anillo cero , entonces 0 es un divisor cero (de dos lados), porque cualquier elemento x distinto de cero satisface 0 x = 0 = x 0 .
Si R es el anillo cero , en el que 0 = 1 , entonces 0 no es un divisor de cero, porque no hay ningún elemento distinto de cero que cuando se multiplica por 0 da como resultado 0 .
Algunas referencias incluyen o excluyen 0 como divisor de cero en todos los anillos por convención, pero luego sufren de tener que introducir excepciones en declaraciones como las siguientes:
En un anillo conmutativo R , el conjunto de los no-cero divisores es un conjunto multiplicativo en R . (Esto, a su vez, es importante para la definición del anillo del cociente total ). Lo mismo ocurre con el conjunto de divisores que no son cero a la izquierda y el conjunto de divisores que no son cero a la derecha en un anillo arbitrario, conmutativo o no.
En una conmutativa anillo noetheriano R , el conjunto de divisores de cero es la unión de los ideales primos asociados de R .
Divisor cero en un módulo
Deje que R sea un anillo conmutativo, deje M sea un R - módulo , y dejó un ser un elemento de R . Se dice que a es M -regular si el mapa de "multiplicación por a " es inyectivo, y que a es un divisor cero en M en caso contrario. [4] El conjunto de M elementos -Regular es un conjunto multiplicativo en R . [4]
Al especializar las definiciones de " M -regular" y "divisor cero en M " al caso M = R, se recuperan las definiciones de "regular" y "divisor cero" dadas anteriormente en este artículo.
Ver también
Propiedad de producto cero
Glosario de álgebra conmutativa (divisor cero exacto)
Gráfico de divisor cero
Notas
^ Dado que el mapa no es inyectivo, tenemos ax = ay , en el que x difiere de y , y por lo tanto a ( x - y ) = 0 .
Referencias
^ N. Bourbaki (1989), Álgebra I, Capítulos 1-3 , Springer-Verlag, p. 98
^ Charles Lanski (2005), Conceptos en álgebra abstracta , American Mathematical Soc., P. 342
^ Nicolas Bourbaki (1998). Álgebra I . Springer Science + Business Media . pag. 15.
^ a b Hideyuki Matsumura (1980), Álgebra conmutativa, 2ª edición , The Benjamin / Cummings Publishing Company, Inc., p. 12