En probabilidad y estadística , la distribución de Gompertz es una distribución de probabilidad continua , llamada así por Benjamin Gompertz . La distribución de Gompertz se aplica a menudo para describir la distribución de la esperanza de vida de los adultos por demógrafos [1] [2] y actuarios . [3] [4] Campos relacionados de la ciencia como la biología [5] y la gerontología [6] también consideraron la distribución de Gompertz para el análisis de supervivencia. Más recientemente, los científicos de la computación también han comenzado a modelar las tasas de falla del código de computadora mediante la distribución de Gompertz. [7]En Marketing Science, se ha utilizado como una simulación a nivel individual para el modelado del valor de vida del cliente . [8] En la teoría de redes , en particular el modelo Erdős-Rényi , la longitud de caminata de una caminata aleatoria de auto-evitación (SAW) se distribuye de acuerdo con la distribución de Gompertz. [9]
Función de densidad de probabilidad | |||
Función de distribución acumulativa | |||
Parámetros | forma , escala | ||
---|---|---|---|
Apoyo | |||
CDF | |||
Significar | | ||
Mediana | |||
Modo | | ||
Diferencia | | ||
MGF | |
Especificación
Función de densidad de probabilidad
La función de densidad de probabilidad de la distribución de Gompertz es:
dónde es el parámetro de escala yes el parámetro de forma de la distribución de Gompertz. En las ciencias actuariales y biológicas y en la demografía, la distribución de Gompertz está parametrizada de manera ligeramente diferente ( ley de mortalidad de Gompertz-Makeham ).
Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulada de la distribución de Gompertz es:
dónde y
Función generadora de momentos
La función generadora de momentos es:
dónde
Propiedades
La distribución de Gompertz es una distribución flexible que se puede sesgar hacia la derecha y hacia la izquierda. Su función de peligro es una función convexa de . El modelo puede encajar en el paradigma de innovación-imitación con como el coeficiente de innovación y como el coeficiente de imitación. Cuándo se vuelve grande, enfoques . El modelo también puede pertenecer al paradigma de propensión a adoptar con como la propensión a adoptar y como el atractivo general de la nueva oferta.
Formas
La función de densidad de Gompertz puede adoptar diferentes formas dependiendo de los valores del parámetro de forma :
- Cuándo la función de densidad de probabilidad tiene su moda en 0.
- Cuándo la función de densidad de probabilidad tiene su modo en
Divergencia de Kullback-Leibler
Si y son las funciones de densidad de probabilidad de dos distribuciones de Gompertz, entonces su divergencia de Kullback-Leibler viene dada por
dónde denota la integral exponencial yes la función gamma superior incompleta . [10]
Distribuciones relacionadas
- Si X se define como el resultado del muestreo de una distribución de Gumbel hasta que se produce un valor negativo Y , y el establecimiento de X = - Y , entonces X tiene una distribución de Gompertz.
- La distribución gamma es un conjugado natural antes de una probabilidad de Gompertz con un parámetro de escala conocido.[8]
- Cuándo varía según una distribución gamma con parámetro de forma y parámetro de escala (media = ), la distribución de es Gamma / Gompertz. [8]
Aplicaciones
- En hidrología, la distribución de Gompertz se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales de un día y las descargas fluviales. La imagen azul ilustra un ejemplo de cómo ajustar la distribución de Gompertz a las precipitaciones máximas anuales clasificadas en un día, que muestra también el cinturón de confianza del 90% según la distribución binomial . Los datos de lluvia se representan mediante la representación de posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .
Ver también
- Ley de mortalidad de Gompertz-Makeham
- Función de Gompertz
- Valor de por vida del cliente
- Distribución Gamma Gompertz
Notas
- ^ Vaupel, James W. (1986). "Cómo el cambio en la mortalidad específica por edad afecta la esperanza de vida" (PDF) . Estudios de población . 40 (1): 147-157. doi : 10.1080 / 0032472031000141896 . PMID 11611920 .
- ^ Preston, Samuel H .; Heuveline, Patrick; Guillot, Michel (2001). Demografía: medición y modelado de procesos poblacionales . Oxford: Blackwell.
- ^ Benjamin, Bernard; Haycocks, HW; Pollard, J. (1980). El análisis de mortalidad y otras estadísticas actuariales . Londres: Heinemann.
- ^ Willemse, WJ; Koppelaar, H. (2000). "Obtención de conocimientos de la ley de mortalidad de Gompertz". Revista actuarial escandinava . 2000 (2): 168-179. doi : 10.1080 / 034612300750066845 .
- ^ Economos, A. (1982). "Tasa de envejecimiento, tasa de muerte y mecanismo de mortalidad". Archivos de Gerontología y Geriatría . 1 (1): 46–51. doi : 10.1016 / 0167-4943 (82) 90003-6 . PMID 6821142 .
- ^ Brown, K .; Forbes, W. (1974). "Un modelo matemático de los procesos de envejecimiento". Revista de Gerontología . 29 (1): 46–51. doi : 10.1093 / geronj / 29.1.46 . PMID 4809664 .
- ^ Ohishi, K .; Okamura, H .; Dohi, T. (2009). "Modelo de confiabilidad del software Gompertz: algoritmo de estimación y validación empírica" . Revista de sistemas y software . 82 (3): 535–543. doi : 10.1016 / j.jss.2008.11.840 .
- ^ a b c Bemmaor, Albert C .; Glady, Nicolas (2012). "Modelado del comportamiento de compra con 'muerte' súbita: un modelo de vida útil del cliente flexible". Ciencias de la gestión . 58 (5): 1012–1021. doi : 10.1287 / mnsc.1110.1461 .
- ↑ Tishby, Biham, Katzav (2016), La distribución de las longitudes de las rutas de caminatas que se auto evitan en las redes Erdős-Rényi, arXiv : 1603.06613 .
- ^ Bauckhage, C. (2014), Caracterizaciones y divergencia de Kullback-Leibler de distribuciones de Gompertz, arXiv : 1402.3193 .
- ^ Calculadora para el ajuste de distribución de probabilidad [1]
Referencias
- Bemmaor, Albert C .; Glady, Nicolas (2011). "Implementación del modelo Gamma / Gompertz / NBD en MATLAB" (PDF) . Cergy-Pontoise: Escuela de Negocios ESSEC.[ enlace muerto permanente ]
- Gompertz, B. (1825). "Sobre la naturaleza de la función expresiva de la ley de mortalidad humana y sobre un nuevo modo de determinar el valor de las contingencias vitales" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 115 : 513–583. doi : 10.1098 / rstl.1825.0026 . JSTOR 107756 .
- Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Distribuciones univariadas continuas . 2 (2ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 25-26. ISBN 0-471-58494-0.
- Sheikh, AK; Boah, JK; Younas, M. (1989). "Modelo de valor extremo truncado para la confiabilidad de la tubería". Ingeniería de confiabilidad y seguridad del sistema . 25 (1): 1–14. doi : 10.1016 / 0951-8320 (89) 90020-3 .