En matemáticas, especialmente en topología , una estructura de Kuranishi es un análogo suave de la estructura de esquema . Si un espacio topológico está dotado de una estructura de Kuranishi, entonces localmente se puede identificar con el conjunto cero de un mapa uniforme., o el cociente de tal cero establecido por un grupo finito. Las estructuras de Kuranishi fueron introducidas por los matemáticos japoneses Kenji Fukaya y Kaoru Ono en el estudio de los invariantes de Gromov-Witten y la homología de Floer en geometría simpléctica, y recibieron el nombre de Masatake Kuranishi . [1]
Definición
Dejar Ser un espacio topológico compacto metrizable . Dejarser un punto. Un barrio de Kuranishi de (de dimensión ) es una tupla de 5
dónde
- es un orbifold liso ;
- es un paquete de vectores orbifold liso;
- es una sección lisa;
- es un barrio abierto de ;
- es un homeomorfismo .
Deberían satisfacer eso .
Si y , son sus vecindarios de Kuranishi respectivamente, luego un cambio de coordenadas de a es un triple
dónde
- es un suborbifold abierto;
- es una incrustación orbifold;
- es un paquete de vectores orbifold incrustado que cubre .
Además, estos datos deben cumplir las siguientes condiciones de compatibilidad:
- ;
- .
Una estructura de Kuranishi en de dimensión es una colección
dónde
- es un barrio de Kuranishi de de dimensión ;
- es un cambio de coordenadas de a .
Además, los cambios de coordenadas deben satisfacer la condición de ciclo , es decir, siempre que, requerimos que
sobre las regiones donde se definen ambos lados.
Historia
En la teoría de Gromov-Witten , es necesario definir la integración sobre el espacio de módulos de curvas pseudoholomorfas. [2] Este espacio de módulos es aproximadamente la colección de mapasde una superficie nodal de Riemann con género y puntos marcados en una variedad simpléctica , de manera que cada componente satisfaga la ecuación de Cauchy-Riemann
- .
Si el espacio de los módulos es una variedad u orbifold suave, compacta y orientada, entonces se puede definir la integración (o una clase fundamental ). Cuando la variedad simplécticaes semi-positivo , este es de hecho el caso (a excepción de los límites de la codimensión 2 del espacio de módulos) si la estructura casi compleja se perturba genéricamente. Sin embargo cuando no es semi-positivo (por ejemplo, una variedad proyectiva suave con una primera clase Chern negativa), el espacio de módulos puede contener configuraciones para las cuales un componente es una cubierta múltiple de una esfera holomórfica cuya intersección con la primera clase Chern dees negativo. Tales configuraciones hacen que el espacio de módulos sea muy singular, por lo que una clase fundamental no se puede definir de la manera habitual.
La noción de estructura de Kuranishi fue una forma de definir un ciclo fundamental virtual , que juega el mismo papel que un ciclo fundamental cuando el espacio de los módulos se corta transversalmente. Fue utilizado por primera vez por Fukaya y Ono para definir los invariantes de Gromov-Witten y la homología de Floer, y se desarrolló aún más cuando Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta y Ono estudiaron la teoría de la intersección de Floer de Lagrange . [3]
Referencias
- ^ Fukaya, Kenji ; Ono, Kaoru (1999). "Conjetura de Arnold y Gromov-Witten invariable" . Topología . 38 (5): 933–1048. doi : 10.1016 / S0040-9383 (98) 00042-1 . Señor 1688434 .
- ^ McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (2004).J -curvas holomorfas y topología simpléctica . Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society. 52 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . doi : 10.1090 / coll / 052 . ISBN 0-8218-3485-1. Señor 2045629 .
- ^ Fukaya, Kenji ; Oh, Yong-Geun; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009). Teoría de la intersección floer de Lagrange: anomalía y obstrucción, Parte I y Parte II . Estudios AMS / IP en Matemáticas Avanzadas. 46 . Providence, RI y Somerville, MA: American Mathematical Society e International Press. ISBN 978-0-8218-4836-4. Señor 2553465 . OCLC 426147150 . SEÑOR2548482
- Fukaya, Kenji ; Teherán, Mohammad F. (2019). "Teoría de Gromov-Witten a través de estructuras de Kuranishi". En Morgan, John W. (ed.). Ciclos fundamentales virtuales en topología simpléctica . Encuestas y Monografías Matemáticas. 237 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 111–252. arXiv : 1701.07821 . ISBN 978-1-4704-5014-4. Señor 2045629 .