La ecuación de Gross-Pitaevskii ( GPE , llamada así por Eugene P. Gross [1] y Lev Petrovich Pitaevskii [2] ) describe el estado fundamental de un sistema cuántico de bosones idénticos usando la aproximación de Hartree-Fock y el modelo de interacción pseudopotencial .
Un condensado de Bose-Einstein (BEC) es un gas de bosones que se encuentran en el mismo estado cuántico y, por lo tanto, pueden describirse mediante la misma función de onda . Una partícula cuántica libre se describe mediante una ecuación de Schrödinger de una sola partícula . La interacción entre partículas en un gas real se tiene en cuenta mediante una ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos pertinente. En la aproximación de Hartree-Fock, la función de onda total del sistema de los bosones se toman como un producto de funciones de una sola partícula ,
dónde es la coordenada del -ésimo bosón. Si el espaciamiento promedio entre las partículas en un gas es mayor que la longitud de dispersión (es decir, en el llamado límite diluido), entonces uno puede aproximar el verdadero potencial de interacción que se presenta en esta ecuación por un pseudopotencial . A una temperatura suficientemente baja donde la longitud de onda de De Broglie es mucho más larga que el rango de interacción bosón-bosón, [3] el proceso de dispersión puede aproximarse bien por la dispersión de la onda s (es decir,en el análisis de onda parcial , también conocido como el potencial de esfera dura ) término solo. En ese caso, el modelo pseudopotencial hamiltoniano del sistema se puede escribir como:
dónde es la masa del bosón, es el potencial externo, es la longitud de dispersión de la onda s bosón-bosón, y es la función delta de Dirac.
El método variacional muestra que si la función de onda de una sola partícula satisface la siguiente ecuación de Gross-Pitaevskii:
la función de onda total minimiza el valor esperado del modelo hamiltoniano en condiciones de normalización Por lo tanto, esta función de onda de una sola partícula describe el estado fundamental del sistema.
GPE es una ecuación modelo para la función de onda de una sola partícula en estado fundamental en un condensado de Bose-Einstein . Tiene una forma similar a la ecuación de Ginzburg-Landau y, a veces, se la denomina " ecuación de Schrödinger no lineal ".
La no linealidad de la ecuación de Gross-Pitaevskii tiene su origen en la interacción entre las partículas: Al establecer la constante de acoplamiento de interacción en la ecuación de Gross-Pitaevskii a cero (ver la siguiente sección): por lo tanto, la ecuación de Schrödinger de una sola partícula que describe una partícula dentro de un potencial de atrapamiento se recupera.
Forma de ecuación
La ecuación tiene la forma de la ecuación de Schrödinger con la adición de un término de interacción. La constante de acoplamiento es proporcional a la longitud de dispersión de la onda s de dos bosones que interactúan:
- ,
dónde es la constante de Planck reducida yes la masa del bosón. La densidad de energía es
dónde es la función de onda, o parámetro de orden, y es el potencial externo (por ejemplo, una trampa de armónicos). La ecuación de Gross-Pitaevskii independiente del tiempo, para un número conservado de partículas, es
dónde es el potencial químico . El potencial químico se encuentra a partir de la condición de que el número de partículas esté relacionado con la función de onda por
A partir de la ecuación de Gross-Pitaevskii independiente del tiempo, podemos encontrar la estructura de un condensado de Bose-Einstein en varios potenciales externos (por ejemplo, una trampa armónica).
La ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo es
A partir de la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo, podemos observar la dinámica del condensado de Bose-Einstein. Se utiliza para encontrar los modos colectivos de un gas atrapado.
Soluciones
Dado que la ecuación de Gross-Pitaevskii es una ecuación diferencial parcial no lineal , es difícil encontrar soluciones exactas. Como resultado, las soluciones deben aproximarse mediante innumerables técnicas.
Soluciones exactas
Partícula libre
La solución exacta más simple es la solución de partículas libres, con ,
Esta solución a menudo se denomina solución Hartree. Aunque satisface la ecuación de Gross-Pitaevskii, deja una brecha en el espectro de energía debido a la interacción:
De acuerdo con el teorema de Hugenholtz-Pines , [4] un gas bose que interactúa no exhibe una brecha de energía (en el caso de interacciones repulsivas).
Solitón
Se puede formar un solitón unidimensional en un condensado de Bose-Einstein y, dependiendo de si la interacción es atractiva o repulsiva, hay un solitón brillante u oscuro. Ambos solitones son perturbaciones locales en un condensado con una densidad de fondo uniforme.
Si el BEC es repulsivo, entonces , entonces una posible solución de la ecuación de Gross-Pitaevskii es,
- ,
dónde es el valor de la función de onda del condensado en , y es la longitud de coherencia (también conocida como longitud de curación , [3] ver más abajo). Esta solución representa el solitón oscuro, ya que hay un déficit de condensado en un espacio de densidad distinta de cero. El solitón oscuro también es un tipo de defecto topológico , ya que cambia entre valores positivos y negativos en el origen, correspondiente a un cambio de fase.
Para
donde el potencial químico es . Esta solución representa el solitón brillante, ya que hay una concentración de condensado en un espacio de densidad cero.
Duración de curación
La duración de curación puede entenderse como la escala de longitud donde la energía cinética del bosón es igual al potencial químico: [3]
La longitud de curación proporciona la distancia más corta sobre la que puede cambiar la función de onda; Debe ser mucho más pequeño que cualquier escala de longitud en la solución de la función de onda de una sola partícula. La longitud de curación también determina el tamaño de los vórtices que se pueden formar en un superfluido; Es la distancia sobre la cual la función de onda se recupera desde cero en el centro del vórtice hasta el valor en la mayor parte del superfluido (de ahí el nombre de longitud de "curación").
Soluciones variacionales
En sistemas donde una solución analítica exacta puede no ser factible, se puede hacer una aproximación variacional. La idea básica es hacer un ansatz variacional para la función de onda con parámetros libres, conectarlo a la energía libre y minimizar la energía con respecto a los parámetros libres.
Soluciones numéricas
Se han utilizado varios métodos numéricos, como los métodos espectrales de Crank-Nicolson [5] y Fourier [6] de paso dividido , para resolver la GPE. También existen diferentes programas Fortran y C para su solución para la interacción de contacto [7] [8] y la interacción dipolar de largo alcance . [9]
Aproximación de Thomas-Fermi
Si el número de partículas en un gas es muy grande, la interacción interatómica se vuelve grande de modo que el término de energía cinética se puede despreciar de la ecuación de Gross-Pitaevskii. Esto se llama aproximación de Thomas-Fermi .
En una trampa armónica (donde la energía potencial es cuadrática con respecto al desplazamiento desde el centro), esto da un perfil de densidad comúnmente conocido como perfil de densidad de "parábola invertida". [3]
Aproximación de Bogoliubov
El tratamiento de Bogoliubov de la ecuación de Gross-Pitaevskii es un método que encuentra las excitaciones elementales de un condensado de Bose-Einstein. Para ese propósito, la función de onda del condensado se aproxima por una suma de la función de onda de equilibrio y una pequeña perturbación ,
- .
Luego, esta forma se inserta en la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo y su conjugado complejo, y se linealiza al primer orden en
Suponiendo lo siguiente para
uno encuentra las siguientes ecuaciones diferenciales acopladas para y tomando el partes como componentes independientes
Para un sistema homogéneo, es decir, para , uno puede conseguir de la ecuación de orden cero. Entonces asumimos y ser ondas planas de impulso , que conduce al espectro energético
Para grande , la relación de dispersión es cuadrática en como cabría esperar de las excitaciones habituales de una sola partícula que no interactúan. Para pequeños, la relación de dispersión es lineal
con siendo la velocidad del sonido en el condensado, también conocido como segundo sonido . El hecho de quemuestra, según el criterio de Landau, que el condensado es un superfluido, lo que significa que si un objeto se mueve en el condensado a una velocidad inferior a s, no será energéticamente favorable para producir excitaciones y el objeto se moverá sin disipación, lo que es una característica de un superfluido . Se han realizado experimentos para demostrar esta superfluidez del condensado, utilizando un láser desafinado en azul muy enfocado. [10] La misma relación de dispersión se encuentra cuando el condensado se describe desde un enfoque microscópico utilizando el formalismo de la segunda cuantificación .
Superfluido en potencial helicoidal giratorio
El pozo de potencial óptico podría estar formado por dos vórtices ópticos de contrapropagación con longitudes de onda , ancho efectivo y carga topológica :
dónde .En sistema de coordenadas cilíndrico el pozo potencial tiene una geometría de doble hélice notable : [11]
En un marco de referencia que gira con velocidad angular , la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo con potencial helicoidal es la siguiente: [12]
dónde es el operador de momento angular. La solución para la función de onda de condensado es una superposición de dos vórtices de ondas de materia conjugadas en fase:
El momento macroscópicamente observable del condensado es:
dónde es el número de átomos en el condensado. Esto significa que el conjunto atómico se mueve coherentemente a lo largo de eje con velocidad de grupo cuya dirección está definida por signos de carga topológica y velocidad angular : [13]
El momento angular del condensado atrapado helicoidalmente es exactamente cero: [12]
El modelado numérico de conjuntos atómicos fríos en potencial espiral ha demostrado el confinamiento de trayectorias atómicas individuales dentro de un pozo de potencial helicoidal. [14]
Referencias
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Otras lecturas
- Pethick, CJ y Smith, H. (2002). Condensación de Bose-Einstein en gases diluidos . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66580-3..
- Pitaevskii, LP y Stringari, S. (2003). Condensación de Bose-Einstein . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850719-2..
enlaces externos
- Trotter-Suzuki-MPI Trotter-Suzuki-MPI es una biblioteca para simulaciones a gran escala basada en la descomposición de Trotter-Suzuki que también puede abordar la ecuación de Gross-Pitaevskii