En matemáticas , un punto de Heegner es un punto en una curva modular que es la imagen de un punto imaginario cuadrático del semiplano superior . Fueron definidos por Bryan Birch y nombrados en honor a Kurt Heegner , quien usó ideas similares para probar la conjetura de Gauss sobre campos cuadráticos imaginarios de la clase número uno.
Teorema de Gross-Zagier
El teorema de Gross-Zagier ( Gross y Zagier 1986 ) describe la altura de los puntos de Heegner en términos de una derivada de la función L de la curva elíptica en el punto s = 1. En particular, si la curva elíptica tiene rango (analítico) 1 , entonces los puntos de Heegner pueden usarse para construir un punto racional en la curva de orden infinito (por lo que el grupo de Mordell-Weil tiene rango al menos 1). De manera más general, Gross, Kohnen y Zagier (1987) demostraron que los puntos de Heegner podían usarse para construir puntos racionales en la curva para cada entero positivo n , y las alturas de estos puntos eran los coeficientes de una forma modular de peso 3/2. Shou-Wu Zhang generalizó el teorema de Gross-Zagier de las curvas elípticas al caso de las variedades abelianas modulares (Zhang 2001 , 2004 , Yuan , Zhang & Zhang 2009 ).
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Más tarde, Kolyvagin usó puntos de Heegner para construir sistemas de Euler , y lo usó para probar gran parte de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer para curvas elípticas de rango 1. Brown demostró la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer para la mayoría de las curvas elípticas de rango 1 sobre campos globales de característica positiva ( Brown 1994 ).
Cálculo
Los puntos de Heegner se pueden usar para calcular puntos racionales muy grandes en curvas elípticas de rango 1 (ver ( Watkins 2006 ) para una encuesta) que no se pudieron encontrar con métodos ingenuos. Las implementaciones del algoritmo están disponibles en Magma , PARI / GP y Sage .
Referencias
- Birch, B. (2004), "Puntos de Heegner: los comienzos", en Darmon, Henri ; Zhang, Shou-Wu (eds.), Heegner Points y Rankin L-Series (PDF) , Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, 49 , Cambridge University Press, págs. 1-10, doi : 10.1017 / CBO9780511756375.002 , ISBN 0-521-83659-X, MR 2083207.
- Brown, ML (2004), módulos de Heegner y curvas elípticas , Lecture Notes in Mathematics, 1849 , Springer-Verlag, doi : 10.1007 / b98488 , ISBN 3-540-22290-1, Señor 2082815.
- Darmon, Henri; Zhang, Shou-Wu, eds. (2004), Heegner points y Rankin L-series , Mathematical Sciences Research Institute Publications, 49 , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511756375 , ISBN 978-0-521-83659-3, MR 2083206
- Gross, Benedict H .; Zagier, Don B. (1986), "Puntos de Heegner y derivados de la serie L", Inventiones Mathematicae , 84 (2): 225–320, Bibcode : 1986InMat..84..225G , doi : 10.1007 / BF01388809 , MR 0833192.
- Gross, Benedict H .; Kohnen, Winfried; Zagier, Don (1987), "Puntos de Heegner y derivadas de la serie L. II", Mathematische Annalen , 278 (1–4): 497–562, doi : 10.1007 / BF01458081 , MR 0909238.
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- Watkins, Mark (2006), Algunas observaciones sobre los cálculos de puntos de Heegner , arXiv : math.NT / 0506325v2.
- Brown, Mark (1994), "Sobre una conjetura de Tate para superficies elípticas sobre campos finitos", Proc. London Math. Soc. , 69 (3): 489–514, doi : 10.1112 / plms / s3-69.3.489.
- Yuan, Xinyi ; Zhang, Shou-Wu; Zhang, Wei (2009), "El teorema de Gross-Kohnen-Zagier sobre campos totalmente reales", Compositio Mathematica , 145 : 1147-1162.
- Zhang, Shou-Wu (2001), "Fórmula de Gross-Zagier para GL2", Asian Journal of Mathematics , 5 (2): 183–290.
- Zhang, Shou-Wu (2004), "Fórmula de Gross-Zagier para GL (2) II", en Darmon, Henri ; Zhang, Shou-Wu (eds.), Heegner points y Rankin L-series , Mathematical Sciences Research Institute Publications , 49 , Cambridge University Press , págs. 191-214, doi : 10.1017 / CBO9780511756375 , ISBN 978-0-521-83659-3, MR 2083206.