En matemáticas , un sistema de Euler es una colección de elementos compatibles de grupos de cohomología de Galois indexados por campos . Fueron introducidos por Kolyvagin ( 1990 ) en su trabajo sobre los puntos de Heegner en curvas elípticas modulares , que fue motivado por su artículo anterior Kolyvagin (1988) y el trabajo de Thaine (1988) . Los sistemas de Euler llevan el nombre de Leonhard Euler porque los factores que relacionan diferentes elementos de un sistema de Euler se asemejan a los factores de Euler de un producto de Euler .
Los sistemas de Euler pueden usarse para construir aniquiladores de grupos de clases ideales o grupos de Selmer , dando así límites a sus órdenes, lo que a su vez ha llevado a teoremas profundos como la finitud de algunos grupos Tate-Shafarevich . Esto llevó a la nueva prueba de Karl Rubin de la conjetura principal de la teoría de Iwasawa , considerada más simple que la prueba original debida a Barry Mazur y Andrew Wiles .
Definición
Aunque existen varias definiciones de tipos especiales de sistema de Euler, no parece haber una definición publicada de un sistema de Euler que cubra todos los casos conocidos. Pero es posible decir aproximadamente qué es un sistema de Euler, de la siguiente manera:
- Un sistema de Euler está dada por colección de elementos c F . Estos elementos a menudo están indexados por ciertos campos numéricos F que contienen algún campo numérico fijo K , o por algo estrechamente relacionado, como números enteros sin cuadrados. Los elementos c F son típicamente elementos de algún grupo cohomology Galois tales como H 1 ( F , T ) donde T es un p representación -adic del grupo de Galois absoluto de K .
- La condición más importante es que los elementos c F y c G para dos campos diferentes F ⊆ G están relacionadas por una fórmula simple, tal como
- Aquí el "factor de Euler" P (τ | B ; x ) se define como el elemento det (1-τ x | B ) considerado como un elemento de O [ x ], que cuando x actúa sobre B no es el igual que det (1-τ x | B ) considerado como un elemento de O.
- Puede haber otras condiciones que el c F tenga que satisfacer, como las condiciones de congruencia.
Kazuya Kato se refiere a los elementos de un sistema de Euler como "encarnaciones aritméticas de zeta" y describe la propiedad de ser un sistema de Euler como "un reflejo aritmético del hecho de que estas encarnaciones están relacionadas con valores especiales de los productos de Euler". [1]
Ejemplos de
Unidades ciclotómicas
Para cada entero positivo n sin cuadrados, elija una raíz n -ésima ζ n de 1, con ζ mn = ζ m ζ n para m , n coprime. Entonces, el sistema ciclotómico de Euler es el conjunto de números α n = 1 - ζ n . Estos satisfacen las relaciones
- módulo todos los números primos por encima de l
donde l es un número primo no dividiendo n y F l es un automorfismo de Frobenius con F l (ζ n ) = ζl
n. Kolyvagin usó este sistema de Euler para dar una prueba elemental de la conjetura de Gras .
Sumas de Gauss
Unidades elípticas
Puntos Heegner
Kolyvagin construyó un sistema de Euler a partir de los puntos de Heegner de una curva elíptica y lo usó para mostrar que en algunos casos el grupo Tate-Shafarevich es finito.
Sistema Euler de Kato
El sistema Euler de Kato consiste en ciertos elementos que ocurren en la teoría K algebraica de curvas modulares . Estos elementos, denominados elementos de Beilinson en honor a Alexander Beilinson, quien los introdujo en Beilinson (1984), fueron utilizados por Kazuya Kato en Kato (2004) para probar una divisibilidad en la conjetura principal de Barry Mazur de la teoría de Iwasawa para curvas elípticas . [2]
Notas
Referencias
- Banaszak, Grzegorz (2001) [1994], "Sistemas de Euler para campos numéricos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Beilinson, Alexander (1984), "Reguladores y valores superiores de las funciones L", en RV Gamkrelidze (ed.), Problemas actuales en matemáticas (en ruso), 24 , págs. 181-238, MR 0760999
- Coates, JH ; Greenberg, R .; Ribet, KA ; Rubin, K. (1999), Teoría aritmética de las curvas elípticas , Notas de clase en matemáticas, 1716 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-66546-3
- Coates, J .; Sujatha, R. (2006), "Sistemas de Euler", Campos ciclotómicos y valores Zeta , Monografías de Springer en matemáticas, Springer-Verlag, págs. 71-87, ISBN 3-540-33068-2
- Kato, Kazuya (2004), " Teoría p -ádica de Hodge y valores de las funciones zeta de las formas modulares", en Pierre Berthelot; Jean-Marc Fontaine; Luc Illusie; Kazuya Kato; Michael Rapoport (eds.), Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques. III. , Astérisque, 295 , París: Société Mathématique de France, págs. 117–290, MR 2104361
- Kato, Kazuya (2007), "Teoría y generalizaciones de Iwasawa", en Marta Sanz-Solé ; Javier Soria; Juan Luis Varona; et al. (eds.), el Congreso Internacional de Matemáticos (PDF) , que , Zürich:. Sociedad Matemática Europea, pp 335-357, MR 2.334.196 , recuperada 2010-08-12. Actas del congreso celebrado en Madrid, 22 al 30 de agosto de 2006
- Kolyvagin, VA (1988), "Los grupos Mordell-Weil y Shafarevich-Tate para las curvas elípticas de Weil", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 52 (6): 1154-1180, ISSN 0373-2436 , MR 0984214
- Kolyvagin, VA (1990), "Euler systems", The Grothendieck Festschrift, vol. II , Progr. Math., 87 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 435–483, doi : 10.1007 / 978-0-8176-4575-5_11 , ISBN 978-0-8176-3428-5, MR 1106906
- Mazur, Barry ; Rubin, Karl (2004), "Kolyvagin systems" , Memoirs of the American Mathematical Society , 168 (799): viii + 96 , doi : 10.1090 / memo / 0799 , ISBN 978-0-8218-3512-8, ISSN 0065-9266 , MR 2031496
- Rubin, Karl (2000), sistemas Euler , Annals of Mathematics Studies, 147 , Princeton University Press , MR 1749177
- Scholl, AJ (1998), "Una introducción a los sistemas Euler de Kato", Representaciones de Galois en geometría aritmética algebraica (Durham, 1996) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 254 , Cambridge University Press , págs. 379–460, ISBN 978-0-521-64419-8, MR 1696501
- Thaine, Francisco (1988), "Sobre los grupos de clases ideales de campos numéricos abelianos reales" , Annals of Mathematics , Second Series, 128 (1): 1–18, doi : 10.2307 / 1971460 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971460 , Señor 0951505
enlaces externos
- Varios artículos sobre los sistemas Kolyvagin están disponibles en la página web de Barry Mazur (a julio de 2005).