Teoría de grupos
En matemáticas y álgebra abstracta , la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos . El concepto de grupo es fundamental para el álgebra abstracta: otras estructuras algebraicas conocidas, como anillos , campos y espacios vectoriales , pueden verse como grupos dotados de operaciones y axiomas adicionales . Los grupos se repiten a lo largo de las matemáticas y los métodos de la teoría de grupos han influido en muchas partes del álgebra. Grupos algebraicos lineales y grupos de Lie son dos ramas de la teoría de grupos que han experimentado avances y se han convertido en áreas temáticas por derecho propio.
Varios sistemas físicos, como los cristales y el átomo de hidrógeno , pueden modelarse mediante grupos de simetría . Por tanto, la teoría de grupos y la teoría de la representación estrechamente relacionada tienen muchas aplicaciones importantes en la física , la química y la ciencia de los materiales . La teoría de grupos también es fundamental para la criptografía de clave pública .
La historia temprana de la teoría de grupos se remonta al siglo XIX. Uno de los logros matemáticos más importantes del siglo XX [1] fue el esfuerzo colaborativo, que ocupó más de 10.000 páginas de revistas y se publicó en su mayoría entre 1960 y 1980, que culminó en una clasificación completa de grupos finitos simples .
La gama de grupos que se están considerando se ha expandido gradualmente desde grupos de permutación finitos y ejemplos especiales de grupos matriciales hasta grupos abstractos que pueden especificarse mediante una presentación por generadores y relaciones .
La primera clase de grupos que se sometió a un estudio sistemático fueron los grupos de permutación . Dado cualquier conjunto X y una colección G de biyecciones de X en sí mismo (conocido como permutaciones ) que se cierra en virtud de composiciones y inversas, G es un grupo que actúa en X . Si X consta de n elementos y G consta de todas las permutaciones, G es el grupo simétrico S n ; en general, cualquier grupo de permutación G es unsubgrupo del grupo simétrico de X . Una construcción temprana debida a Cayley exhibía cualquier grupo como un grupo de permutación, actuando sobre sí mismo ( X = G ) mediante la representación regular izquierda .
En muchos casos, la estructura de un grupo de permutación se puede estudiar utilizando las propiedades de su acción sobre el conjunto correspondiente. Por ejemplo, de esta manera se demuestra que para n ≥ 5 , el grupo alterno A n es simple , es decir, no admite subgrupos normales propios . Este hecho juega un papel clave en la imposibilidad de resolver una ecuación algebraica general de grado n ≥ 5 en radicales .
