La historia de la teoría de grupos , un dominio matemático que estudia los grupos en sus diversas formas, ha evolucionado en varios hilos paralelos. Hay tres raíces históricas de la teoría de grupos : la teoría de ecuaciones algebraicas , la teoría de números y la geometría . [1] [2] [3] Joseph Louis Lagrange , Niels Henrik Abel y Évariste Galois fueron los primeros investigadores en el campo de la teoría de grupos.
Principios del siglo XIX
El estudio más temprano de los grupos como tales probablemente se remonta al trabajo de Lagrange a finales del siglo XVIII. Sin embargo, este trabajo fue algo aislado, y las publicaciones de 1846 de Augustin Louis Cauchy y Galois se conocen más comúnmente como el comienzo de la teoría de grupos. La teoría no se desarrolló en el vacío, por lo que aquí se desarrollan tres hilos importantes de su prehistoria.
Desarrollo de grupos de permutación
Una raíz fundamental de la teoría de grupos fue la búsqueda de soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior a 4.
Una fuente temprana ocurre en el problema de formar una ecuación de grado m que tenga como raíces m de las raíces de una ecuación de grado dada. Para casos simples, el problema se remonta a Johann van Waveren Hudde (1659). [4] Nicholas Saunderson (1740) señaló que la determinación de los factores cuadráticos de una expresión bicuadrática conduce necesariamente a una ecuación séxtica, [5] y Thomas Le Seur (1703-1770) (1748) [6] [7] y Edward Waring (1762 a 1782) desarrolló aún más la idea. [8] [3] [9]
Lagrange (1770, 1771) encontró un fundamento común para la teoría de las ecuaciones sobre la base del grupo de permutaciones , y sobre esto se construyó la teoría de las sustituciones. [10] Descubrió que las raíces de todos los solventes ( résolvantes, réduites ) que examinó son funciones racionales de las raíces de las respectivas ecuaciones. Para estudiar las propiedades de estas funciones, inventó un Calcul des Combinaisons . [11] El trabajo contemporáneo de Alexandre-Théophile Vandermonde (1770) también presagió la teoría venidera. [3] [12]
Paolo Ruffini (1799) intentó una demostración de la imposibilidad de resolver las ecuaciones quíntica y superior. [13] Ruffini distinguió lo que ahora se llama grupos intransitivos y transitivos , imprimitivos y primitivos , y (1801) usa el grupo de una ecuación con el nombre de l'assieme delle permutazioni . También publicó una carta de Pietro Abbati para él mismo, en la que destaca la idea de grupo. [14] [3]
Galois descubrió que si son las n raíces de una ecuación, siempre hay un grupo de permutaciones de las r tales que
- cada función de las raíces invariable por las sustituciones del grupo se conoce racionalmente, y
- a la inversa, toda función racionalmente determinable de las raíces es invariante bajo las sustituciones del grupo.
En términos modernos, la solubilidad del grupo de Galois adjunto a la ecuación determina la solubilidad de la ecuación con radicales.
Galois es el primero en utilizar las palabras grupo ( groupe en francés) y primitivo en sus significados modernos. No usó grupo primitivo sino que llamó ecuación primitiva a una ecuación cuyo grupo de Galois es primitivo . Descubrió la noción de subgrupos normales y descubrió que un grupo primitivo resoluble puede identificarse con un subgrupo del grupo afín de un espacio afín sobre un campo finito de primer orden. [15]
Galois también contribuyó a la teoría de ecuaciones modulares y a la de funciones elípticas . Su primera publicación sobre teoría de grupos se realizó a la edad de dieciocho años (1829), pero sus contribuciones atrajeron poca atención hasta la publicación de sus artículos recopilados en 1846 (Liouville, Vol. XI). [16] [17] Galois es honrado como el primer matemático que vincula la teoría de grupos y la teoría de campos , con la teoría que ahora se llama teoría de Galois . [3]
Los grupos similares a los de Galois se denominan (hoy) grupos de permutación , un concepto investigado en particular por Cauchy. Varios teoremas importantes en la teoría de grupos temprana se deben a Cauchy. Arthur Cayley 's en la teoría de grupos, ya que dependiendo de la ecuación simbólica(1854) da la primera definición abstracta de grupos finitos . [18]
En segundo lugar, el uso sistemático de grupos en geometría, principalmente bajo la apariencia de grupos de simetría , fue iniciado por el programa Erlangen de 1872 de Felix Klein . [19] [20] El estudio de lo que ahora se llaman grupos de Lie comenzó sistemáticamente en 1884 con Sophus Lie , seguido del trabajo de Wilhelm Killing , Eduard Study , Issai Schur , Ludwig Maurer y Élie Cartan . La teoría discontinua ( grupo discreto ) fue construida por Klein, Lie, Henri Poincaré y Charles Émile Picard , en conexión en particular con las formas modulares y la monodromía .
Aparición de grupos en teoría de números
La tercera raíz de la teoría de grupos fue la teoría de números . Ciertas estructuras de grupos abelianos habían sido utilizadas implícitamente en el trabajo de teoría numérica de Carl Friedrich Gauss y, más explícitamente, de Leopold Kronecker . [21] Los primeros intentos de probar el último teorema de Fermat fueron llevados a un clímax por Ernst Kummer al introducir grupos que describían la factorización en números primos . [22]
Convergencia
La teoría de grupos como materia cada vez más independiente fue popularizada por Serret , que dedicó la sección IV de su álgebra a la teoría; de Camille Jordan , cuyo Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) es un clásico; ya Eugen Netto (1882), cuya Teoría de las sustituciones y sus aplicaciones al álgebra fue traducida al inglés por Cole (1892). Otros teóricos de grupos del siglo XIX fueron Joseph Louis François Bertrand , Charles Hermite , Ferdinand Georg Frobenius , Kronecker y Émile Mathieu ; [3] además de William Burnside , Leonard Eugene Dickson , Otto Hölder , EH Moore , Ludwig Sylow y Heinrich Martin Weber .
La convergencia de las tres fuentes anteriores en una teoría uniforme comenzó con Traité de Jordan y Walther von Dyck (1882), quienes definieron por primera vez un grupo en el pleno sentido moderno. Los libros de texto de Weber y Burnside ayudaron a establecer la teoría de grupos como disciplina. [23] La formulación de grupo abstracto no se aplicó a una gran parte de la teoría de grupos del siglo XIX, y se dio un formalismo alternativo en términos de álgebras de Lie .
Finales del siglo XIX
Los grupos en el período 1870-1900 se describieron como los grupos continuos de Lie, los grupos discontinuos, los grupos finitos de sustituciones de raíces (que gradualmente se denominan permutaciones) y los grupos finitos de sustituciones lineales (normalmente de campos finitos). Durante el período 1880-1920, los grupos descritos por presentaciones cobraron vida propia a través del trabajo de Cayley, Walther von Dyck , Max Dehn , Jakob Nielsen , Otto Schreier , y continuaron en el período 1920-1940 con el trabajo de HSM. Coxeter , Wilhelm Magnus y otros para formar el campo de la teoría combinatoria de grupos .
Los grupos finitos en el período 1870-1900 vieron aspectos destacados como los teoremas de Sylow , la clasificación de grupos de orden libre de cuadrados de Hölder y los primeros comienzos de la teoría del carácter de Frobenius. Ya en 1860, los grupos de automorfismos de los planos proyectivos finitos habían sido estudiados (por Mathieu), y en la década de 1870 la visión de la geometría de la teoría de grupos de Klein se estaba realizando en su programa de Erlangen . Los grupos de automorfismos de espacios proyectivos de dimensiones superiores fueron estudiados por Jordan en su Traité e incluyeron series de composición para la mayoría de los llamados grupos clásicos , aunque evitó los campos no primos y omitió los grupos unitarios . El estudio fue continuado por Moore y Burnside, y Leonard Dickson lo convirtió en un libro de texto completo en 1901. Jordan enfatizó el papel de los grupos simples , y Hölder desarrolló los criterios para la no simplicidad hasta que pudo clasificar los grupos simples. de orden inferior a 200. El estudio fue continuado por Frank Nelson Cole (hasta 660) y Burnside (hasta 1092), y finalmente en un "proyecto del milenio" temprano, hasta 2001 por Miller y Ling en 1900.
Los grupos continuos en el período 1870-1900 se desarrollaron rápidamente. Se publicaron los artículos fundamentales de Killing y Lie, el teorema de Hilbert en la teoría invariante en 1882, etc.
Principios del siglo 20
En el período 1900-1940, infinitos grupos "discontinuos" (ahora llamados grupos discretos ) cobraron vida por sí mismos. El famoso problema de Burnside marcó el comienzo del estudio de subgrupos arbitrarios de grupos lineales de dimensión finita sobre campos arbitrarios y, de hecho, grupos arbitrarios. Los grupos fundamentales y los grupos de reflexión alentaron los desarrollos de JA Todd y Coxeter, como el algoritmo de Todd-Coxeter en la teoría combinatoria de grupos. Los grupos algebraicos , definidos como soluciones de ecuaciones polinómicas (en lugar de actuar sobre ellas, como en el siglo anterior), se beneficiaron en gran medida de la teoría continua de Lie. Bernard Neumann y Hanna Neumann realizaron su estudio de variedades de grupos , grupos definidos por ecuaciones teóricas de grupos en lugar de polinomios.
Los grupos continuos también tuvieron un crecimiento explosivo en el período 1900-1940. Los grupos topológicos comenzaron a estudiarse como tales. Hubo muchos grandes logros en grupos continuos: la clasificación de Cartan de álgebras de Lie semisimples, la teoría de las representaciones de grupos compactos de Hermann Weyl , el trabajo de Alfréd Haar en el caso localmente compacto.
Los grupos finitos en el 1900-1940 crecieron enormemente. Este período fue testigo del nacimiento de la teoría del carácter por parte de Frobenius, Burnside y Schur, que ayudó a responder muchas de las preguntas del siglo XIX en grupos de permutación y abrió el camino a técnicas completamente nuevas en grupos finitos abstractos. Este período vio el trabajo de Philip Hall : sobre una generalización del teorema de Sylow a conjuntos arbitrarios de números primos que revolucionaron el estudio de los grupos solubles finitos, y sobre la estructura del conmutador de potencia de los grupos p , incluidas las ideas de grupos p regulares y isoclinismo de grupos , que revolucionó el estudio de los grupos p y fue el primer resultado importante en esta área desde Sylow. Este período vio el famoso teorema de Schur-Zassenhaus de Hans Zassenhaus sobre la existencia de complementos a la generalización de Hall de los subgrupos de Sylow, así como su progreso en los grupos de Frobenius , y una clasificación cercana de los grupos de Zassenhaus .
Mediados del siglo XX
Posteriormente crecieron tanto la profundidad como la amplitud y también el impacto de la teoría de grupos. El dominio comenzó a diversificarse en áreas como grupos algebraicos , extensiones de grupo y teoría de la representación . [24] A partir de la década de 1950, en un gran esfuerzo de colaboración, los teóricos de grupos lograron clasificar todos los grupos finitos simples en 1982. Completar y simplificar la prueba de la clasificación son áreas de investigación activa. [25]
Anatoly Maltsev también hizo importantes contribuciones a la teoría de grupos durante este tiempo; Su trabajo inicial fue en lógica en la década de 1930, pero en la década de 1940 demostró importantes propiedades de incrustación de semigrupos en grupos, estudió el problema del isomorfismo de los anillos de grupo, estableció la correspondencia de Malçev para grupos policíclicos y en la década de 1960 volvió a la lógica demostrando varias teorías dentro del estudio de grupos para ser indecidible. Anteriormente, Alfred Tarski demostró que la teoría de grupos elemental era indecidible . [26]
El período 1960-1980 fue emocionante en muchas áreas de la teoría de grupos.
En grupos finitos, hubo muchos hitos independientes. Uno tuvo el descubrimiento de 22 nuevos grupos esporádicos y la finalización de la primera generación de la clasificación de grupos simples finitos . Se tuvo la influyente idea del subgrupo Carter y la posterior creación de la teoría de la formación y la teoría de clases de grupos. Uno tenía las notables extensiones de la teoría de Clifford por Green a los módulos indecomponibles de álgebras de grupo. Durante esta era, el campo de la teoría computacional de grupos se convirtió en un campo de estudio reconocido, debido en parte a su tremendo éxito durante la clasificación de primera generación.
En grupos discretos, los métodos geométricos de Jacques Tits y la disponibilidad de la sobrejetividad del mapa de Serge Lang permitieron una revolución en los grupos algebraicos. El problema de Burnside tuvo un progreso tremendo, con mejores contraejemplos construidos en la década de 1960 y principios de la de 1980, pero los toques finales "para todos, pero para un número limitado" no se completaron hasta la década de 1990. El trabajo sobre el problema de Burnside aumentó el interés en las álgebras de Lie en exponente p , y los métodos de Michel Lazard comenzaron a ver un impacto más amplio, especialmente en el estudio de p -grupos.
Los grupos continuos se ampliaron considerablemente, y las preguntas analíticas p- ádicas se volvieron importantes. Se hicieron muchas conjeturas durante este tiempo, incluidas las conjeturas de la coclase.
Finales del siglo XX
Los últimos veinte años del siglo XX disfrutaron de los éxitos de más de cien años de estudio en teoría de grupos.
En grupos finitos, los resultados posteriores a la clasificación incluyeron el teorema de O'Nan-Scott , la clasificación de Aschbacher, la clasificación de grupos finitos transitivos múltiples, la determinación de los subgrupos máximos de los grupos simples y las correspondientes clasificaciones de grupos primitivos . En geometría finita y combinatoria, ahora podrían resolverse muchos problemas. La teoría de la representación modular entró en una nueva era a medida que se axiomatizaban las técnicas de la clasificación, incluidos los sistemas de fusión, la teoría de pares y bloques nilpotentes de Luis Puig. La teoría de los grupos solubles finitos también fue transformada por el influyente libro de Klaus Doerk y Trevor Hawkes, que llevó la teoría de los proyectores y los inyectores a un público más amplio.
En grupos discretos, varias áreas de la geometría se unieron para producir nuevos y emocionantes campos. El trabajo sobre la teoría de nudos , orbifolds , variedades hiperbólicas y grupos que actúan sobre árboles ( teoría de Bass-Serre ), avivó mucho el estudio de los grupos hiperbólicos , los grupos automáticos . Cuestiones como la conjetura de geometrización de William Thurston de 1982 inspiraron técnicas completamente nuevas en la teoría de grupos geométricos y la topología de baja dimensión , y estuvieron involucradas en la solución de uno de los Problemas del Premio Millennium , la conjetura de Poincaré .
Los grupos continuos vieron la solución del problema de escuchar la forma de un tambor en 1992 utilizando grupos de simetría del operador laplaciano . Se aplicaron técnicas continuas a muchos aspectos de la teoría de grupos utilizando espacios funcionales y grupos cuánticos . Muchos problemas de los siglos XVIII y XIX se revisan ahora en este escenario más general, y muchas preguntas en la teoría de las representaciones de grupos tienen respuesta.
Hoy
La teoría de grupos sigue siendo un tema intensamente estudiado. Su importancia para las matemáticas contemporáneas en su conjunto puede verse en el Premio Abel 2008 , otorgado a John Griggs Thompson y Jacques Tits por sus contribuciones a la teoría de grupos.
Notas
- ^ Wussing 2007
- ^ Kleiner 1986
- ^ a b c d e f Smith 1906
- ↑ Hudde, Johannes (1659) "Epistola prima, de reductione æquationum" (Primera letra: sobre la reducción de ecuaciones). En: Descartes, René; Beaune, Florimond de; Schooten, Frans van; Hudde, Johannes; Heuraet, furgoneta Hendrik. Renati Des-Cartes Geometria . 2ª ed. vol. 1. (en latín) Amsterdam, Holanda: Louis y Daniel Elzevir. págs. 406–506.
- ↑ Saunderson, Nicholas (1740). Los elementos del álgebra, en diez libros . vol. 2. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pp. 735-736, "De la resolución de todo tipo de ecuaciones bicuadráticas por mediación de cúbicos".
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tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Le Seur, Thomas (1748). Memoire sur le Calcul Integral (en francés). Roma, (Italia): Freres Pagliarini. ; págs. 13 y sigs., véanse especialmente las págs. 22-23.
- ^ Los artículos sobre Thomas Le Seur están disponibles en Wikipedia en francés y Wikipedia en alemán .
- ^ Ver:
- Waring, Edward (1762). Miscellanea Analytica, de aequationibus algebraicis, et curvarum proprietatibus (en latín). Cambridge, Inglaterra: J. Bentham.
- Waring, Edward (1770). Meditationes Algebraicæ (en latín). Cambridge, Inglaterra: J. Archdeacon.
- Waring, Edward (1782). Meditationes Algebraicæ (en latín) (3ª ed.). Cambridge, Inglaterra: J. Archdeacon.
- ^ Burkhardt, Heinrich (1892). "Die Anfänge der Gruppentheorie und Paolo Ruffini" [Los inicios de la teoría de grupos y Paolo Ruffini]. Zeitschrift für Mathematik und Physik (en alemán). 37 (Suplemento): 119-159.
- ^ Ver:
- Lagrange (1770). "Reflexions sur la résolution algébrique des équations" [Reflexiones sobre la solución algebraica de ecuaciones]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín) (en francés). 1 : 134–215.
- Lagrange (1771). "Suite des reflexions sur la résolution algébrique des équations" [Continuación de reflexiones sobre la solución algebraica de ecuaciones]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín) (en francés). 2 : 138-253.
- ^ Lagrange 1771 , p. 235
- ^ Vandermonde (1771). "Mémoire sur la resolution des équations" [Memoria sobre la solución de ecuaciones]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences. Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (en francés): 365–416.
- ^ Ruffini, Paolo (1799). Teoria Generale delle Equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto [ Teoría general de ecuaciones, en la que la solución algebraica de ecuaciones generales de grado superior a cuatro resulta imposible ] (en italiano). vol. 1 y 2. Bolonia, (Italia): St. Tommaso d'Aquino.
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tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Abbati, Pietro (1803). "Lettera di Pietro Abbati Modenese al socio Paolo Ruffini" [Carta de Pietro Abbati de Módena a su colega Paolo Ruffini]. Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze (en italiano). 10 (parte 2): 385–409.
- ^ "Última carta de Galois" .
- ^ Galois 1908
- ^ Kleiner 1986 , p. 202
- ^ Cayley, A. (1854). "Según la teoría de grupos, según la ecuación simbólica θ n = 1" . Revista Filosófica . 4ta serie. 7 (42): 40–47. doi : 10.1080 / 14786445408647421 .
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- Reimpreso en: Klein, Felix (1892). "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen" [Una revisión comparativa de investigaciones recientes en geometría]. Mathematische Annalen (en alemán). 43 (1): 63–100. doi : 10.1007 / bf01446615 . S2CID 60620433 .
- Traducción en inglés: Klein, Felix C. (2008) [1892]. Rughoonauth, NC (ed.). "Una revisión comparativa de investigaciones recientes en geometría". Traducido por Haskell, MW arXiv : 0807.3161 . Cite journal requiere
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( ayuda )
- ↑ Wussing 2007 , §III.2
- ^ Kleiner 1986 , p. 204
- ↑ Wussing 2007 , §I.3.4
- ↑ Solomon escribe en las Obras completas de Burnside: "El efecto [del libro de Burnside] fue más amplio y generalizado, influyendo en todo el curso del álgebra no conmutativa en el siglo XX".
- ^ Curtis 2003
- ^ Aschbacher, Michael (2004). "El estado de la clasificación de los grupos simples finitos" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 51 (7): 736–740.
- ^ Tarski, Alfred (1953). "Indecidibilidad de la teoría elemental de grupos". En Tarski, Alfred; Mostowski; Robinson, Raphael M. (eds.). Teorías indecidibles . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas. 14 . Holanda Septentrional. págs. 77–87.
Referencias
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- Curtis, Charles W. (2003), Pioneros de la teoría de la representación: Frobenius, Burnside, Schur y Brauer , Historia de las matemáticas, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2677-5
- Galois, Évariste (1908), Curtiduría, Jules (ed.), Manuscrits de Évariste Galois , París: Gauthier-Villars
- Kleiner, Israel (1986), "La evolución de la teoría de grupos: una breve encuesta", Mathematics Magazine , 59 (4): 195-215, doi : 10.2307 / 2690312 , ISSN 0025-570X , JSTOR 2690312 , MR 0863090
- Smith, David Eugene (1906), Historia de las matemáticas modernas , Monografías matemáticas, No. 1
- Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-45868-7
- du Sautoy, Marcus (2008), Finding Moonshine , Londres: Cuarto poder , ISBN 978-0-00-721461-7