En matemáticas , el álgebra de Hopf grupal de un grupo dado es un cierto constructo relacionado con las simetrías de las acciones grupales . Las deformaciones de las álgebras de Hopf grupales son fundamentales en la teoría de los grupos cuánticos .
Definición
Deje que G sea un grupo y k un campo . El álgebra de Hopf grupal de G sobre k , denotado kG (o k [ G ]), es como un conjunto (y un espacio vectorial ) el espacio vectorial libre en G sobre k . Como álgebra , su producto se define por la extensión lineal de la composición del grupo en G , siendo la unidad multiplicativa la identidad en G ; este producto también se conoce como convolución .
Tenga en cuenta que mientras que el álgebra de grupo de un grupo finito se puede identificar con el espacio de funciones en el grupo, para un grupo infinito estas son diferentes. El álgebra de grupos, que consta de sumas finitas , corresponde a funciones en el grupo que se desvanecen por muchos puntos cofinítimos ; topológicamente (usando la topología discreta ), estos corresponden a funciones con soporte compacto .
Sin embargo, el álgebra de grupo y el espacio de funciones son duales: dado un elemento del álgebra de grupos y una función en el grupo estos pares para dar un elemento de k vía que es una suma bien definida porque es finita.
Estructura del álgebra de Hopf
Le damos a kG la estructura de un álgebra de Hopf coconmutativa definiendo el coproducto, el recuento y la antípoda como las extensiones lineales de los siguientes mapas definidos en G : [1]
Los axiomas de compatibilidad del álgebra de Hopf requeridos se comprueban fácilmente. Darse cuenta de, el conjunto de elementos grupales de kG (es decir, elementos tal que y ), Es precisamente G .
Simetrías de acciones grupales
Sea G un grupo y X un espacio topológico . Cualquier acción de G sobre X da un homomorfismo , donde F ( X ) es un álgebra apropiada de funciones con valor k , como el álgebra de Gelfand-Naimarkde funciones continuas que se desvanecen en el infinito . El homomorfismo es definido por , con el adjunto definido por
por , y .
Esto puede describirse mediante un mapeo lineal
dónde , son los elementos de G , y, que tiene la propiedad de que los elementos grupales en dan lugar a automorfismos de F ( X ).
confiere a F ( X ) una estructura adicional importante, que se describe a continuación.
Álgebras del módulo Hopf y el producto Hopf smash
Sea H un álgebra de Hopf. A (izquierda) Hopf H-module álgebra A es un álgebra que es un módulo (izquierda) sobre el álgebra H tal que y
cuando sea , y en notación Sumless Sweedler . Cuándose ha definido como en la sección anterior, esto convierte a F ( X ) en un álgebra de módulo de Hopf kG izquierdo , lo que permite la siguiente construcción.
Sea H un álgebra de Hopf y A un álgebra del módulo H de Hopf izquierdo . El álgebra del producto smash es el espacio vectorial con el producto
- ,
y escribimos por en este contexto. [2]
En nuestro caso, y , y tenemos
- .
En este caso, el álgebra del producto smash también se denota por .
Se ha calculado la homología cíclica de los productos de la rotura de Hopf. [3] Sin embargo, allí el producto smash se llama producto cruzado y se denota- no confundir con el producto cruzado derivado de-sistemas dinámicos. [4]
Referencias
- ^ Montgomery, Susan (1993). Álgebras de Hopf y sus acciones sobre anillos. Versión ampliada de diez conferencias impartidas en la Conferencia CBMS sobre álgebras de Hopf y sus acciones en los anillos, que tuvo lugar en la Universidad DePaul en Chicago, EE. UU., Del 10 al 14 de agosto de 1992 . Serie de conferencias regionales en matemáticas. 82 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 8. ISBN 978-0-8218-0738-5. Zbl 0793.16029 .
- ^ Dăscălescu, Sorin; Raianu, Şerban; Van Oystaeyen, Freddy (1998). "Smash (co) productos de adjunciones". En Caenepeel, Stefaan; Verschoren, A. (eds.). Anillos, álgebras de Hopf y grupos de Brauer. Actas de la cuarta semana sobre álgebra y geometría algebraica, SAGA-4, Amberes y Bruselas, Bélgica, 12-17 de septiembre de 1996 . Lect. Notas Pure Appl. Matemáticas. 197 . Nueva York, NY: Marcel Dekker. págs. 103-110. ISBN 0824701534. Señor 1615813 . Zbl 0905.16017 .
- ^ Akbarpour, Reza; Khalkhali, Masoud (2003). "Homología cíclica equivariante de álgebra de Hopf y homología cíclica de álgebras de productos cruzados". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2003 (559): 137-152. arXiv : matemáticas / 0011248 . doi : 10.1515 / crll.2003.046 . Señor 1989648 .
- ^ Gracia-Bondia, J. et al. Elementos de geometría no conmutativa . Birkhäuser: Boston, 2001. ISBN 0-8176-4124-6 .