En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, el teorema de las tres líneas de Hadamard es un resultado sobre el comportamiento de funciones holomórficas definidas en regiones limitadas por líneas paralelas en el plano complejo . El teorema lleva el nombre del matemático francés Jacques Hadamard .
Declaración
Teorema de tres líneas de Hadamard - Seaser una función acotada de definido en la tira
holomorfa en el interior de la tira y continua en toda la tira. Si
luego es una función convexa en
En otras palabras, si con luego
Prueba |
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Definir por dónde en los bordes de la tira. El resultado sigue una vez que se muestra que la desigualdad también se mantiene en el interior de la tira. Después de una transformación afín en la coordenada se puede suponer que y La función tiende a como tiende al infinito y satisface en el límite de la franja. Por lo tanto, el principio de módulo máximo se puede aplicar aen la tira. Entonces Porque tiende a como tiende al infinito, se sigue que ∎ |
Aplicaciones
El teorema de las tres líneas se puede utilizar para demostrar el teorema de los tres círculos de Hadamard para una función continua acotadaen un anillo holomorfa en el interior. De hecho, aplicando el teorema a
muestra que, si
luego es una función convexa de
El teorema de las tres líneas también es válido para funciones con valores en un espacio de Banach y juega un papel importante en la teoría de interpolación compleja . Puede usarse para probar la desigualdad de Hölder para funciones medibles
dónde considerando la función
Ver también
Referencias
- Hadamard, Jacques (1896), "Sur les fonctions entières" (PDF) , Bull. Soc. Matemáticas. P. , 24 : 186–187 (el anuncio original del teorema)
- Reed, Michael ; Simon, Barry (1975), Métodos de la física matemática moderna, Volumen 2: Análisis de Fourier, autoadjuntad , Elsevier, págs. 33-34, ISBN 0-12-585002-6
- Ullrich, David C. (2008), Complex made simple , Estudios de posgrado en matemáticas , 97 , American Mathematical Society , págs. 386–387, ISBN 0-8218-4479-2