Simplectomorfismo

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En matemáticas , un simplectomorfismo o mapa simpléctico es un isomorfismo en la categoría de variedades simplécticas . En la mecánica clásica , un simplectomorfismo representa una transformación del espacio de fases que conserva el volumen y conserva la estructura simpléctica del espacio de fases, y se denomina transformación canónica .

Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas se llama simplectomorfismo si${\ displaystyle f: (M, \ omega) \ rightarrow (N, \ omega ')}$

¿Dónde está el retroceso de . Los difeomorfismos simplécticos de a son un (pseudo-) grupo, llamado grupo de simplectomorfismo (ver más abajo).${\ Displaystyle f ^ {*}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

La versión infinitesimal de los simpléctomorfismos da los campos vectoriales simplécticos. Un campo vectorial se llama simpléctico si${\ Displaystyle X \ in \ Gamma ^ {\ infty} (TM)}$

Además, es simpléctico si el flujo de es un simplectomorfismo para todos . Estos campos vectoriales construyen una subálgebra de Lie . Aquí, está el conjunto de campos vectoriales suaves en , y es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ phi _ {t}: M \ rightarrow M}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ infty} (TM)}$${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ infty} (TM)}$ ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ Displaystyle X.}$

Ejemplos de simplectomorfismos incluyen las transformaciones canónicas de la mecánica clásica y la física teórica , el flujo asociado a cualquier función hamiltoniana, el mapa de haces cotangentes inducidos por cualquier difeomorfismo de variedades y la acción coadjunta de un elemento de un grupo de Lie en una órbita coadjunta .

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