Teorema de Tauberian de Hardy-Littlewood

En análisis matemático , el teorema tauberiano de Hardy-Littlewood es un teorema tauberiano que relaciona las asintóticas de las sumas parciales de una serie con las asintóticas de su suma de Abel . De esta forma, el teorema afirma que si, como y ↓ 0, la secuencia no negativa a _n es tal que hay una equivalencia asintótica

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}}}$

entonces también hay una equivalencia asintótica

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n}$

como n → ∞. La formulación integral del teorema relaciona de manera análoga las asintóticas de la función de distribución acumulativa de una función con las asintóticas de su transformada de Laplace.

El teorema fue probado en 1914 por GH Hardy y JE Littlewood . ^{[1] : 226} En 1930, Jovan Karamata dio una prueba nueva y mucho más simple. ^{[1] : 226}

Declaración del teorema

Formulación de series

Esta formulación es de Titchmarsh. ^{[1] : 226} Suponga que a _n ≥ 0 para todo n , y como x ↑ 1 tenemos

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\sim {\frac {1}{1-x}}.}$

Entonces cuando n va a ∞ tenemos

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.}$

El teorema es a veces citado en formas equivalentes, donde en lugar de requerir un _n ≥ 0, se requiere una _n = O (1), o que requiere un _n ≥ - K para alguna constante K . ^{[2] : 155} El teorema a veces se cita en otra formulación equivalente (mediante el cambio de la variable x = 1 / e ^y ). ^{[2] : 155} Si, como y ↓ 0,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}}}$

luego

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.}$

Formulación integral

La siguiente formulación más general es de Feller. ^{[3] : 445} Considere una función de valor real F  : [0, ∞) →  R de variación acotada . ^[4] La transformada de Laplace-Stieltjes de F está definida por la integral de Stieltjes

${\displaystyle \omega (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dF(t).}$

El teorema relaciona las asintóticas de ω con las de F de la siguiente manera. Si ρ es un número real no negativo, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes

• ${\displaystyle \omega (s)\sim Cs^{-\rho },\quad {\rm {{as\ }s\to 0}}}$
• ${\displaystyle F(t)\sim {\frac {C}{\Gamma (\rho +1)}}t^{\rho },\quad {\rm {{as\ }t\to \infty .}}}$

Aquí Γ denota la función Gamma . Se obtiene el teorema de la serie como un caso especial tomando ρ = 1 y F ( t ) como una función constante por partes con un valor entre t = n y t = n +1.${\displaystyle \textstyle {\sum _{k=0}^{n}a_{k}}}$

Es posible una ligera mejora. De acuerdo con la definición de una función de variación lenta , L ( x ) varía lentamente en el infinito si

${\displaystyle {\frac {L(tx)}{L(x)}}\to 1,\quad x\to \infty }$

por cada t positivo . Sea L una función que varía lentamente en el infinito y ρ un número real no negativo. Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes

• ${\displaystyle \omega (s)\sim s^{-\rho }L(s^{-1}),\quad {\rm {{as\ }s\to 0}}}$
• ${\displaystyle F(t)\sim {\frac {1}{\Gamma (\rho +1)}}t^{\rho }L(t),\quad {\rm {{as\ }t\to \infty .}}}$

Prueba de Karamata

Karamata (1930) encontró una breve demostración del teorema considerando las funciones g tales que harvtxt error: no target: CITEREFKaramata1930 (help)

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}(1-x)\sum a_{n}x^{n}g(x^{n})=\int _{0}^{1}g(t)dt}$

Un cálculo sencillo muestra que todos los monomios g ( x ) = x ^k tienen esta propiedad y, por lo tanto, también todos los polinomios g . Esto se puede ampliar a una función g con simples discontinuidades (paso) mediante la aproximación por polinomios desde arriba y abajo (utilizando el Weierstrass aproximación teorema y un poco de fudging extra) y utilizando el hecho de que los coeficientes de un _n son positivos. En particular, la función dada por g ( t ) = 1 / t si 1 / e < t <1 y 0 en caso contrario tiene esta propiedad. Pero entonces para x= e ^{−1 / N} la suma Σ a _n x ⁿ g ( x ⁿ ) es a ₀ + ... + a _N , y la integral de g es 1, de la cual se deduce inmediatamente el teorema de Hardy-Littlewood.

Ejemplos de

Coeficientes no positivos

El teorema puede fallar sin la condición de que los coeficientes no sean negativos. Por ejemplo, la función

${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{2}(1-x)}}=1-x+2x^{2}-2x^{3}+3x^{4}-3x^{5}+\cdots }$

es asintótica a 1/4 (1– x ) cuando x tiende a 1, pero las sumas parciales de sus coeficientes son 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4 ... y no son asintóticas a ninguna función lineal.

Extensión de Littlewood del teorema de Tauber

Artículo principal: teorema de Tauberian de Littlewood

En 1911, Littlewood demostró una extensión de la recíproca de Tauber del teorema de Abel . Littlewood mostró lo siguiente: Si a _n = O (1 / n ), y como x ↑ 1 tenemos

${\displaystyle \sum a_{n}x^{n}\to s,}$

luego

${\displaystyle \sum a_{n}=s.}$

Esto vino históricamente antes del teorema tauberiano de Hardy-Littlewood, pero puede demostrarse como una simple aplicación del mismo. ^{[1] : 233–235}

Teorema de los números primos

En 1915, Hardy y Littlewood desarrollaron una demostración del teorema de los números primos basada en su teorema de Tauberian; ellos demostraron

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\Lambda (n)e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}},}$

donde Λ es la función de von Mangoldt , y luego concluye

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\Lambda (n)\sim x,}$

una forma equivalente del teorema de los números primos. ^{[5] : 34-35  [6] : 302-307} Littlewood desarrolló una demostración más simple, todavía basada en este teorema de Tauberian, en 1971. ^{[6] : 307-309}

Notas

1. Titchmarsh, EC (1939). La teoría de las funciones (2ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853349-7.
2. Hardy, GH (1991) [1949]. Serie divergente . Providence, RI: AMS Chelsea. ISBN 0-8284-0334-1.
3. Feller, William (1971). Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Vol. II . Segunda edicion. Nueva York: John Wiley & Sons . Señor 0270403 . 
4. variación acotada solo se requiere localmente: en cada subintervalo acotado de [0, ∞). Sin embargo, se requieren supuestos adicionales más complicados sobre la convergencia de la transformada de Laplace-Stieltjes. Véase Shubin, MA (1987). Operadores pseudodiferenciales y teoría espectral . Serie Springer en matemáticas soviéticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-13621-7. Señor  0883081 .
5. Hardy, GH (1999) [1940]. Ramanujan: Doce conferencias sobre temas sugeridos por su vida y obra . Providencia: AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-2023-0.
6. Narkiewicz, Władysław (2000). El desarrollo de la teoría de los números primos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-66289-8.

enlaces externos

• "Teoremas de Tauberian" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Teorema tauberiano de Hardy-Littlewood" . MathWorld .