En matemáticas, precisamente en la teoría de funciones de varias variables complejas , el teorema de extensión de Hartogs es un enunciado sobre las singularidades de las funciones holomórficas de varias variables. De manera informal, establece que el soporte de las singularidades de tales funciones no puede ser compacto , por lo tanto, el conjunto singular de una función de varias variables complejas debe (en términos generales) 'ir al infinito' en alguna dirección. Más precisamente, muestra que una singularidad aislada es siempre una singularidad removible para cualquier función analítica de n > 1variables complejas. Friedrich Hartogs demostró una primera versión de este teorema , [1] y como tal se conoce también como lema de Hartogs y principio de Hartogs : en la literatura soviética anterior , [2] también se llama teorema de Osgood-Brown , reconociendo el trabajo posterior de Arthur Barton Brown y William Fogg Osgood . [3] Esta propiedad de las funciones holomórficas de varias variables también se denomina fenómeno de Hartogs : sin embargo, la locución "fenómeno de Hartogs" también se utiliza para identificar la propiedad de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales o de convolución que satisfacen los teoremas de tipo Hartogs. [4]
Nota histórica
La demostración original fue dada por Friedrich Hartogs en 1906, usando la fórmula integral de Cauchy para funciones de varias variables complejas . [1] Hoy en día, las demostraciones habituales se basan en la fórmula de Bochner-Martinelli-Koppelman o en la solución de las ecuaciones no homogéneas de Cauchy-Riemann con soporte compacto. Este último enfoque se debe a Leon Ehrenpreis, quien lo inició en el artículo ( Ehrenpreis 1961 ). Otra prueba muy simple de este resultado fue dada por Gaetano Fichera en el artículo ( Fichera 1957 ), usando su solución del problema de Dirichlet para funciones holomórficas de varias variables y el concepto relacionado de función CR : [5] más tarde extendió el teorema de una cierta clase de operadores diferenciales parciales en el artículo ( Fichera 1983 ), y sus ideas fueron más tarde exploradas por Giuliano Bratti. [6] También la escuela japonesa de la teoría de los operadores diferenciales parciales trabajó mucho en este tema, con notables contribuciones de Akira Kaneko. [7] Su enfoque es utilizar el principio fundamental de Ehrenpreis .
Fenómeno de Hartogs
Un fenómeno que se cumple en varias variables pero no se sostiene en una variable se llama fenómeno de Hartogs , que conduce a la noción de este teorema de extensión de Hartogs y el dominio de la holomorfia , de ahí la teoría de varias variables complejas .
Por ejemplo, en dos variables, considere el dominio interior
en el polidisco bidimensional dónde .
Teorema de Hartogs (1906) : cualquier función holomórfica en se continúan analíticamente . Es decir, hay una función holomórfica en tal que en .
De hecho, usando la fórmula integral de Cauchy obtenemos la función extendida. Todas las funciones holomórficas se continúan analíticamente hasta el polidisco, que es estrictamente mayor que el dominio en el que se define la función holomórfica original. Tales fenómenos nunca ocurren en el caso de una variable.
Declaración formal
- Deje que f sea una función holomorfa en un conjunto G \ K , donde G es un subconjunto abierto de C n ( n ≥ 2 ) y K es un subconjunto compacto de G . Si el complemento G \ K está conectado, entonces f se puede extender a una función holomorfa único en G .
Contraejemplos en la dimensión uno
El teorema no se cumple cuando n = 1 . Para ver esto, basta considerar la función f ( z ) = z -1 , que es claramente holomorphic en C \ {0}, pero no se puede continuar como una función holomorfa en todo el C . Por tanto, el fenómeno de Hartogs es un fenómeno elemental que resalta la diferencia entre la teoría de funciones de una y varias variables complejas.
Notas
- ↑ a b Véase el artículo original de Hartogs (1906) y su descripción en varios estudios históricos de Osgood (1963 , págs. 56–59). , Severi (1958 , págs. 111-115) y Struppa (1988 , págs. 132-134). En particular, en esta última referencia en la p. 132, el Autor escribe explícitamente: - " Como se señala en el título de ( Hartogs 1906 ), y como pronto verá el lector, la herramienta clave en la demostración es la fórmula integral de Cauchy ".
- ↑ Véase, por ejemplo, Vladimirov (1966 , p. 153), que remite al lector al libro de Fuks (1963 , p. 284) en busca de una prueba (sin embargo, en la referencia anterior se afirma incorrectamente que la prueba está en la página 324). ).
- ^ Véase Brown (1936) y Osgood (1929) .
- ^ Ver Fichera (1983) y Bratti (1986a) ( Bratti 1986b ).
- ↑ Tanto el profesor de Fichera como su artículo sobre la época ( Fichera 1957 ) parecen haber sido pasados por alto por muchos especialistas de la teoría de funciones de varias variables complejas : ver Range (2002) para la atribución correcta de muchos teoremas importantes en este campo.
- ^ Véase Bratti (1986a) ( Bratti 1986b ).
- ^ Ver su artículo ( Kaneko 1973 ) y las referencias en él.
Referencias
Referencias históricas
- Fuks, BA (1963), Introducción a la teoría de las funciones analíticas de varias variables complejas , Traducciones de monografías matemáticas, 8 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. Vi + 374, ISBN 9780821886441, MR 0168793 , Zbl 0.138,30902.
- Osgood, William Fogg (1966) [1913], Temas en la teoría de funciones de varias variables complejas (edición íntegra y corregida), Nueva York: Dover , págs. IV + 120, JFM 45.0661.02 , MR 0201668 , Zbl 0138.30901.
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Referencias científicas
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enlaces externos
- Chirka, EM (2001) [1994], "Teorema de Hartogs" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- "Fallo del teorema de Hartogs en una dimensión (contraejemplo)" . PlanetMath .
- Teorema de Hartogs en PlanetMath .
- Prueba del teorema de Hartogs en PlanetMath .