La Hauptvermutung ( alemán para conjetura principal ) de topología geométrica es la cuestión de si dos triangulaciones cualesquiera de un espacio triangulable tienen subdivisiones que son combinatoriamente equivalentes, es decir, las triangulaciones subdivididas se construyen en el mismo patrón combinatorio.
Fue formulada originalmente como una conjetura en 1908 por Ernst Steinitz y Heinrich Franz Friedrich Tietze , pero ahora se sabe que es falsa.
La versión no múltiple fue refutada por John Milnor en 1961 usando la torsión Reidemeister . [1]
Historia
La versión múltiple es verdadera en dimensiones . Los casos y fueron probadas por Tibor Radó y Edwin E. Moise en las décadas de 1920 y 1950, respectivamente. [2] [3] [4]
Andrew Casson y Dennis Sullivan formularon una obstrucción a la versión múltiple en 1967-69 (originalmente en el caso simplemente conectado ), utilizando el invariante de Rochlin y el grupo de cohomología .
En dimensión , un homeomorfismo de variedades lineales a trozos m -dimensionales tiene una invariante tal que es isotópico a un homeomorfismo lineal a trozos (PL) si y solo si. En el caso de conexión simple y con, es homotópico a un homeomorfismo PL si y solo si.
La obstrucción de la variedad Hauptvermutung se ve ahora como una versión relativa de la obstrucción de triangulación de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann , obtenida en 1970. La obstrucción de Kirby-Siebenmann se define para cualquier variedad topológica compacta m- dimensional M
nuevamente usando el invariante de Rochlin. Para, el colector M tiene una estructura PL (es decir, puede ser triangulado por un colector PL) si y solo si, y si esta obstrucción es 0, las estructuras PL están parametrizadas por . En particular hay sólo un número finito de estructuras PL esencialmente distintos en M .
Para variedades compactas simplemente conectadas de dimensión 4, Simon Donaldson encontró ejemplos con un número infinito de estructuras PL no equivalentes , y Michael Freedman encontró la variedad E8 que no solo no tiene estructura PL, sino que (por obra de Casson) ni siquiera es homeomórfica para un complejo simplicial. [5]
En 2013, Ciprian Manolescu demostró que existen variedades topológicas compactas de dimensión 5 (y, por tanto, de cualquier dimensión mayor que 5) que no son homeomorfas a un complejo simplicial. [6] Así, el ejemplo de Casson ilustra un fenómeno más general que no se limita simplemente a la dimensión 4.
Referencias
- ^ Milnor, John W. (1961). "Dos complejos homeomorfos pero combinatoriamente distintos". Annals of Mathematics . 74 (2): 575–590. doi : 10.2307 / 1970299 . JSTOR 1970299 . Señor 0133127 .
- ^ Radó, Tibor (1925). "Über den Begriff der Riemannschen Fläche". Acta Scientarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis . 2 (1): 96-114. doi : 10.2307 / 1969769 . JSTOR 1969769 . Señor 0048805 .
- ^ Moise, Edwin E. (1952). "Estructuras afines en 3-variedades. V. El teorema de triangulación y Hauptvermutung". Annals of Mathematics . 56 (2): 101-121. doi : 10.2307 / 1969769 . JSTOR 1969769 .
- ^ Moise, Edwin E. (1977). Topología geométrica en las dimensiones 2 y 3 . Nueva York: Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90220-3.
- ^ Akbulut, Selman ; McCarthy, John D. (1990). Invariante de Casson para 3 esferas de homología orientada . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-08563-3. Señor 1030042 .
- ^ Manolescu, Ciprian (2016) [2015]. "Pin (2) -equivariante Seiberg-Witten Floer homología y la conjetura de triangulación". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 29 : 147-176. arXiv : 1303.2354 . doi : 10.1090 / jams829 .
enlaces externos
- http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/haupt Material adicional, incluidas las fuentes originales
- Yuli Rudyak "Estructuras lineales por partes en colectores topológicos"ISBN 978-981-4733-78-6
- Andrew Ranicki (ed.) El libro HauptvermutungISBN 0-7923-4174-0
- Andrew Ranicki Variedades de alta dimensión antes y ahora