En mecánica de fluidos , el teorema de disipación mínima de Helmholtz (llamado así por Hermann von Helmholtz, quien lo publicó en 1868 [1] [2] ) establece que el movimiento de flujo constante de Stokes de un fluido incompresible tiene la menor tasa de disipación que cualquier otro movimiento incompresible con el misma velocidad en el límite . [3] [4] El teorema también ha sido estudiado por Diederik Korteweg en 1883 [5] y por Lord Rayleigh en 1913. [6]
Este teorema es, de hecho, cierto para cualquier movimiento de fluido en el que el término no lineal de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles puede despreciarse o de manera equivalente cuando , dónde es el vector de vorticidad . Por ejemplo, el teorema también se aplica a los flujos unidireccionales como el flujo de Couette y el flujo de Hagen-Poiseuille , donde los términos no lineales desaparecen automáticamente.
Prueba matemática
Dejar y ser el tensor de velocidad, presión y tasa de deformación del flujo de Stokes y y ser el tensor de velocidad, presión y tasa de deformación de cualquier otro movimiento incompresible conen el límite. Dejar y sea la representación del tensor de velocidad y deformación en notación de índice , donde el índice va de uno a tres.
Considere la siguiente integral,
donde en la integral anterior, solo queda una parte simétrica del tensor de deformación, porque la contracción del tensor simétrico y antisimétrico es idénticamente cero. La integración por partes da
La primera integral es cero porque la velocidad en los límites de los dos campos es igual. Ahora, para la segunda integral, ya quesatisface la ecuación de flujo de Stokes , es decir,, podemos escribir
De nuevo, hacer una Integración por partes da
La primera integral es cero porque las velocidades son iguales y la segunda integral es cero porque el flujo es incompresible, es decir, . Por lo tanto, tenemos la identidad que dice:
La tasa total de energía de disipación viscosa en todo el volumen del campo. es dado por
y después de una reordenación usando la identidad anterior, obtenemos
Si es la tasa total de energía de disipación viscosa en todo el volumen del campo , entonces nosotros tenemos
- .
La segunda integral es no negativa y cero solo si , probando así el teorema.
Teorema del flujo de Poiseuille
El teorema del flujo de Poiseuille [7] es una consecuencia del teorema de Helmholtz que establece que El flujo laminar constante de un fluido viscoso incompresible por una tubería recta de sección transversal arbitraria se caracteriza por la propiedad de que su disipación de energía es la menor entre todas las laminares (o espacialmente periódicas) fluyen por la tubería que tienen el mismo flujo total.
Referencias
- ^ Helmholtz, H. (1868). Verh. naturista.-med. Ver. Wiss. Abh, 1, 223.
- ↑ von Helmholtz, H. (1868). Zur Theorie der stationären Ströme en reibenden Flüssigkeiten. Verh. Naturh.-Med. Ver. Heidelb, 11, 223.
- ^ Cordero, H. (1932). Hidrodinámica. Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ^ Batchelor, GK (2000). Introducción a la dinámica de fluidos. Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ↑ Korteweg, DJ (1883). XVII. Sobre un teorema general de la estabilidad del movimiento de un fluido viscoso. The London, Edinburgh y Dublin Philosophical Magazine y Journal of Science, 16 (98), 112-118.
- ^ Rayleigh, L. (1913). LXV. Sobre el movimiento de un fluido viscoso. The London, Edinburgh y Dublin Philosophical Magazine y Journal of Science, 26 (154), 776-786.
- ^ Serrin, J. (1959). Principios matemáticos de la mecánica de fluidos clásica. En Fluid Dynamics I / Strömungsmechanik I (págs. 125-263). Springer, Berlín, Heidelberg.