En dinámica de fluidos , el flujo de Couette es el flujo de un fluido viscoso en el espacio entre dos superficies, una de las cuales se mueve tangencialmente con respecto a la otra. El movimiento relativo de las superficies impone un esfuerzo cortante sobre el fluido e induce el flujo. Dependiendo de la definición del término, también puede haber un gradiente de presión aplicado en la dirección del flujo.
La configuración de Couette modela ciertos problemas prácticos, como el manto y la atmósfera de la Tierra , [1] y el flujo en cojinetes de deslizamiento con poca carga . También se emplea en viscosimetría y para demostrar aproximaciones de reversibilidad . [2] [3]
Lleva el nombre de Maurice Couette , profesor de física en la Universidad francesa de Angers a finales del siglo XIX.
Flujo de Couette planar
El flujo de Couette se usa con frecuencia en cursos de licenciatura en física e ingeniería para ilustrar el movimiento de fluidos impulsado por cizalla . Una configuración simple corresponde a dos placas paralelas infinitas separadas por una distancia; una placa se traduce con una velocidad relativa constanteen su propio plano. Sin tener en cuenta los gradientes de presión, las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican para
dónde es la coordenada espacial normal a las placas y es el campo de velocidad. Esta ecuación refleja el supuesto de que el flujo es unidireccional , es decir, solo uno de los tres componentes de la velocidadno es trivial. Si la placa inferior corresponde a, las condiciones de contorno son y . La solucion exacta
se puede encontrar integrando dos veces y resolviendo las constantes usando las condiciones de contorno. Un aspecto notable del flujo es que el esfuerzo cortante es constante en todo el dominio. En particular, la primera derivada de la velocidad,, es constante. Según la ley de la viscosidad de Newton (fluido newtoniano), el esfuerzo cortante es el producto de esta expresión y la viscosidad (constante) del fluido .
Puesta en marcha
En realidad, la solución de Couette no se alcanza instantáneamente. El "problema de inicio" que describe el enfoque del estado estable viene dado por
sujeto a la condición inicial
y con las mismas condiciones de contorno que el flujo constante:
El problema se puede homogeneizar restando la solución constante. Luego, aplicar la separación de variables conduce a la solución: [4]
- .
La escala de tiempo que describe la relajación al estado estable es , como se ilustra en la figura. El tiempo necesario para alcanzar el estado estable depende únicamente del espacio entre las placas.y la viscosidad cinemática del fluido, pero no en.
Flujo plano con gradiente de presión
Un flujo de Couette más general incluye un gradiente de presión constante en una dirección paralela a las placas. Las ecuaciones de Navier-Stokes son
dónde es la viscosidad dinámica . Integrando la ecuación anterior dos veces y aplicando las condiciones de contorno (igual que en el caso del flujo de Couette sin gradiente de presión) se obtiene
El gradiente de presión puede ser positivo (gradiente de presión adverso) o negativo (gradiente de presión favorable). En el caso límite de placas estacionarias (), el flujo se conoce como flujo plano de Poiseuille y tiene un perfil de velocidad parabólico simétrico (con referencia al plano medio horizontal). [5]
Flujo compresible
En flujo incompresible, el perfil de velocidad es lineal porque la temperatura del fluido es constante. Cuando las paredes superior e inferior se mantienen a diferentes temperaturas, el perfil de velocidad es más complicado. Sin embargo, tiene una solución implícita exacta. [6]
Considere el flujo plano de Couette con la pared inferior en reposo y la pared superior en movimiento con velocidad constante. . Denote las propiedades del fluido en la pared inferior con un subíndice y propiedades en la pared superior con subíndice . Las propiedades y la presión en la pared superior se prescriben y se toman como cantidades de referencia. Dejarsea la distancia entre las dos paredes. Las condiciones de contorno son
dónde es la entalpía específica yes el calor específico . Conservación de masa y-momentum requiere en todas partes del dominio de flujo. Conservación de energía y-momento reducir a
dónde es el esfuerzo cortante de la pared. El flujo no depende del número de Reynolds , sino en el número de Prandtl y el número de Mach , dónde es la conductividad térmica ,es la velocidad del sonido yes la proporción de calor específico . Introduce las variables adimensionales.
En términos de estas cantidades, las soluciones son
dónde es el calor transferido por unidad de tiempo por unidad de área desde la pared inferior. Por lo tanto son funciones implícitas de . También se puede escribir la solución en términos de temperatura de recuperación. y entalpía de recuperación evaluado a la temperatura de una pared aislada, es decir, los valores de y para cual . [ aclaración necesaria ] Entonces la solución es
Si el calor específico es constante, entonces. Cuándo y , luego y son constantes en todas partes, recuperando así la incompresible solución de flujo de Couette. De lo contrario, se debe conocer la dependencia total de la temperatura de. Si bien no existe una expresión simple paraque es tanto precisa como general, existen varias aproximaciones para ciertos materiales - ver, por ejemplo, dependencia de la temperatura de la viscosidad . Cuándo y , las cantidades de recuperación se vuelven unitarias . Para el aire, los valores son de uso común y los resultados para este caso se muestran en la figura.
Los efectos de la disociación y la ionización (es decir,no es constante) también se han estudiado; en ese caso, la temperatura de recuperación se reduce por la disociación de moléculas. [7]
Canal rectangular
Flujo unidimensional es válido cuando ambas placas son infinitamente largas en el sentido de la corriente () y spanwise () direcciones. Cuando la longitud del tramo es finita, el flujo se vuelve bidimensional y es una función de ambos y . Sin embargo, la longitud infinita en la dirección de la corriente debe conservarse para garantizar la naturaleza unidireccional del flujo.
Como ejemplo, considere un canal rectangular infinitamente largo con altura transversal y ancho de tramo , sujeto a la condición de que la pared superior se mueva con una velocidad constante . Sin un gradiente de presión impuesto, las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a
con condiciones de contorno
Usando la separación de variables , la solución viene dada por
Cuándo , se recupera el flujo plano de Couette, como se muestra en la figura.
Cilindros coaxiales
El flujo de Taylor-Couette es un flujo entre dos cilindros coaxiales rotativos infinitamente largos. [8] El problema original fue resuelto por Stokes en 1845, [9] pero el nombre de Geoffrey Ingram Taylor se adjuntó al flujo porque estudió su estabilidad en un famoso artículo de 1923. [10]
El problema se puede resolver en coordenadas cilíndricas. . Denote los radios de los cilindros interior y exterior como y . Suponiendo que los cilindros giran a velocidades angulares constantes y , entonces la velocidad en el -la dirección es [11]
Esta ecuación muestra que los efectos de la curvatura ya no permiten un corte constante en el dominio del flujo.
Cilindros coaxiales de longitud finita
El problema de flujo clásico de Taylor-Couette supone cilindros infinitamente largos; si los cilindros tienen una longitud finita no despreciable, entonces el análisis debe modificarse (aunque el flujo sigue siendo unidireccional). Para, el problema de longitud finita se puede resolver usando separación de variables o transformadas integrales , dando: [12]
dónde son las funciones de Bessel modificadas de primer y segundo tipo.
Ver también
- Flujo laminar
- Flujo de Stokes-Couette
- Ecuación de Hagen-Poiseuille
- Flujo de Taylor-Couette
- Flujo de Hagen-Poiseuille de las ecuaciones de Navier-Stokes
Referencias
- ^ Zhilenko y col. (2018)
- ^ Guyon y col. (2001), pág. 136
- ↑ Heller (1960)
- ^ Pozrikidis (2011), págs. 338–339
- ^ Kundu y col. (2016), pág. 415
- ^ Lagerstrom (1996)
- ^ Liepmann y col. (1956, 1957)
- ^ Landau y Lifshitz (1987)
- ↑ Stokes (1845)
- ↑ Taylor (1923)
- ^ Guyon y col. (2001), págs. 163-166
- ↑ Wendl (1999)
Fuentes
- Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-859679-0.
- Batchelor, GK (2000) [1967]. Introducción a la dinámica de fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-66396-2.
- Guyon, Etienne; Hulin, Jean-Pierre; Petit, Luc; Mitescu, Catalin D. (2001). Hidrodinámica física . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-851746-7.
- Heller, John P. (1960). "Una demostración de unmixing". Revista estadounidense de física . 28 (4): 348–353. Código Bibliográfico : 1960AmJPh..28..348H . doi : 10.1119 / 1.1935802 . ISSN 0002-9505 .
- Illingworth, CR (1950). "Algunas soluciones de las ecuaciones de flujo de un fluido compresible viscoso". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 46 (3): 469–478. Código Bibliográfico : 1950PCPS ... 46..469I . doi : 10.1017 / S0305004100025986 . ISSN 0305-0041 .
- Kundu, Pijush K .; Cohen, Ira M .; Dowling, David R. (2016). Mecánica de fluidos (6ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-12-405935-1.
- Lagerstrom, Paco (1996). Teoría del flujo laminar . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0691025988.
- Landau, LD; Lifshitz, EM (1987). Mecánica de fluidos (2ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-08-057073-0.
- Liepmann, HW y ZO Bleviss. "Los efectos de la disociación y la ionización en el flujo de couette compresible". Douglas Aircraft Co. Rept. SM-19831 130 (1956).
- Liepmann, Hans Wolfgang y Anatol Roshko . Elementos de la dinámica de gases. Corporación de mensajería, 1957.
- Pozrikidis, C. (2011). Introducción a la dinámica de fluidos teórica y computacional . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-975207-2.
- Richard Feynman (1964) Las conferencias Feynman sobre física: principalmente electromagnetismo y materia , § 41–6 "Couette flow", Addison – Wesley ISBN 0-201-02117-X
- Stokes, George Gabriel (1880). "Sobre las teorías de la fricción interna de los fluidos en movimiento y del equilibrio y movimiento de los sólidos elásticos" . Artículos matemáticos y físicos . Cambridge University Press: 75-129. doi : 10.1017 / CBO9780511702242.005 . ISBN 9780511702242.
- Taylor, Geoffrey I. (1923). "Estabilidad de un líquido viscoso contenido entre dos cilindros giratorios" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico. 223 (605–615): 289–343. Código Bibliográfico : 1923RSPTA.223..289T . doi : 10.1098 / rsta.1923.0008 . JSTOR 91148 .
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- Zhilenko, Dmitry; Krivonosova, Olga; Gritsevich, Maria; Leer, Peter (2018). "Selección del número de onda en presencia de ruido: resultados experimentales". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 28 (5): 053110. Bibcode : 2018Chaos..28e3110Z . doi : 10.1063 / 1.5011349 . hdl : 10138/240787 . ISSN 1054-1500 . PMID 29857673 .
enlaces externos
- Glosario AMS: Couette Flow
- Una perspectiva de los reólogos: la ciencia detrás del accesorio de la célula de couette