En matemáticas , los números de Fibonacci forman una secuencia definida recursivamente por:
Es decir, después de dos valores iniciales, cada número es la suma de los dos números anteriores.
La secuencia de Fibonacci se ha estudiado extensamente y se ha generalizado de muchas maneras, por ejemplo, comenzando con otros números que no sean 0 y 1, agregando más de dos números para generar el siguiente número o agregando objetos que no sean números.
Extensión a enteros negativos
Utilizando , se pueden extender los números de Fibonacci a enteros negativos. Entonces obtenemos:
- ... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
y . [1]
Consulte también codificación NegaFibonacci .
Extensión a todos los números reales o complejos
Hay una serie de posibles generalizaciones de los números de Fibonacci que incluyen los números reales (y a veces los números complejos ) en su dominio. Cada uno de estos implica la proporción áurea φ , y se basan en la fórmula de Binet
La función analítica
tiene la propiedad que para enteros pares. [2] Del mismo modo, la función analítica:
satisface para enteros impares.
Finalmente, poniendo estos juntos, la función analítica
satisface para todos los enteros . [3]
Desde para todos los números complejos , esta función también proporciona una extensión de la secuencia de Fibonacci a todo el plano complejo. Por tanto, podemos calcular la función de Fibonacci generalizada de una variable compleja, por ejemplo,
Espacio vectorial
El término secuencia de Fibonacci también se aplica de manera más general a cualquier función de los enteros a un campo para el que . Estas funciones son precisamente las de la forma, por lo que las secuencias de Fibonacci forman un espacio vectorial con las funciones y como base.
De manera más general, la gama de puede tomarse como cualquier grupo abeliano (considerado como un módulo Z ). Entonces las secuencias de Fibonacci forman un bidimensional-módulo de la misma manera.
Secuencias de enteros similares
Secuencias de números enteros de Fibonacci
El bidimensional -módulo de secuencias enteras de Fibonacci consta de todas las secuencias enteras que satisfacen. Expresado en términos de dos valores iniciales tenemos:
dónde es la proporción áurea.
La proporción entre dos elementos consecutivos converge a la proporción áurea, excepto en el caso de la secuencia que es constantemente cero y las secuencias donde la proporción de los dos primeros términos es .
La secuencia se puede escribir en la forma
en el cual si y solo si . De esta forma, el ejemplo no trivial más simple tiene, que es la secuencia de números de Lucas :
Tenemos y . Las propiedades incluyen:
Cada secuencia de números enteros de Fibonacci no trivial aparece (posiblemente después de un desplazamiento de un número finito de posiciones) como una de las filas de la matriz de Wythoff . La secuencia de Fibonacci en sí es la primera fila y un cambio de la secuencia de Lucas es la segunda fila. [4]
Consulte también las secuencias de números enteros de Fibonacci módulo n .
Secuencias de Lucas
Una generalización diferente de la secuencia de Fibonacci son las secuencias de Lucas del tipo definido a continuación:
- ,
donde la secuencia de Fibonacci normal es el caso especial de y . Otro tipo de secuencia de Lucas comienza con, . Tales secuencias tienen aplicaciones en la teoría de números y la demostración de la primalidad .
Cuándo , esta secuencia se llama secuencia P- Fibonacci , por ejemplo, la secuencia Pell también se llama secuencia 2-Fibonacci .
La secuencia 3-Fibonacci es
- 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... (secuencia A006190 en la OEIS )
La secuencia 4-Fibonacci es
- 0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... (secuencia A001076 en la OEIS )
La secuencia 5-Fibonacci es
- 0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... (secuencia A052918 en la OEIS )
La secuencia 6-Fibonacci es
- 0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... (secuencia A005668 en la OEIS )
La constante n- Fibonacci es la razón hacia la cual adyacentes-Los números de Fibonacci tienden; También se le llama n- ésima media metálica , y es la única raíz positiva de. Por ejemplo, el caso de es , o la proporción áurea , y el caso de es , o la proporción de plata . Generalmente, el caso de es . [ cita requerida ]
Generalmente, se puede llamar secuencia ( P , - Q ) -Fibonacci , y V ( n ) se puede llamar secuencia ( P , - Q ) -Lucas .
La secuencia (1,2) -Fibonacci es
- 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (secuencia A001045 en la OEIS )
La secuencia (1,3) -Fibonacci es
- 1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ... ( secuencia A006130 en la OEIS )
La secuencia (2,2) -Fibonacci es
- 0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... (secuencia A002605 en la OEIS )
La secuencia (3,3) -Fibonacci es
- 0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... (secuencia A030195 en la OEIS )
Números de Fibonacci de orden superior
Una secuencia de Fibonacci de orden n es una secuencia entera en la que cada elemento de la secuencia es la suma del anterior. elementos (con la excepción del primer elementos de la secuencia). Los números de Fibonacci habituales son una secuencia de Fibonacci de orden 2. Los casos y han sido investigados a fondo. El número de composiciones de números enteros no negativos en partes que son como máximo es una secuencia de orden de Fibonacci . La secuencia del número de cadenas de 0 y 1 de longitud que contienen como máximo ceros consecutivos también es una secuencia de orden de Fibonacci .
Estas secuencias, sus proporciones limitantes y el límite de estas proporciones limitantes fueron investigadas por Mark Barr en 1913. [5]
Números de Tribonacci
Los números de tribonacci son como los números de Fibonacci, pero en lugar de comenzar con dos términos predeterminados, la secuencia comienza con tres términos predeterminados y cada término posterior es la suma de los tres términos anteriores. Los primeros números de tribonacci son:
- 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012,… (secuencia A000073 en el OEIS )
La serie fue descrita formalmente por primera vez por Agronomof en 1914, [6] pero su primer uso involuntario se encuentra en El origen de las especies de Charles R. Darwin . En el ejemplo que ilustra el crecimiento de la población de elefantes, se basó en los cálculos realizados por su hijo, George H. Darwin . [7] El término tribonacci fue sugerido por Feinberg en 1963. [8]
La constante de tribonacci
- (secuencia A058265 en la OEIS )
es la proporción hacia la que tienden los números de tribonacci adyacentes. Es una raíz del polinomio, y también satisface la ecuación . Es importante en el estudio del cubo chato .
El recíproco de la constante de tribonacci , expresado por la relación, Se puede escribir como:
- (secuencia A192918 en la OEIS )
Los números de tribonacci también vienen dados por [9]
dónde denota la función entera más cercana y
Números de tetranacci
Los números de tetranacci comienzan con cuatro términos predeterminados, cada término posterior es la suma de los cuatro términos anteriores. Los primeros números de tetranacci son:
- 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15 , 29 , 56 , 108 , 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (Secuencia A000078 en la OEIS )
La constante de tetranacci es la proporción hacia la que tienden los números de tetranacci adyacentes. Es una raíz del polinomio, aproximadamente 1,927561975482925 OEIS : A086088 , y también satisface la ecuación.
La constante de tetranacci se expresa en términos de radicales mediante la siguiente expresión: [10]
Órdenes superiores
Se han calculado los números de pentanacci, hexanacci y heptanacci. Los números de pentanacci son:
- 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624,… (secuencia A001591 en la OEIS )
Números de Hexanacci:
- 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109,… (secuencia A001592 en la OEIS )
Números de Heptanacci:
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808,… (secuencia A122189 en el OEIS )
Números de Octanacci:
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... ( secuencia A079262 en la OEIS )
Números de Enneanacci:
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, .. . (secuencia A104144 en la OEIS )
El límite de la razón de términos sucesivos de un -La serie nacci tiende a una raíz de la ecuación ( OEIS : A103814 , OEIS : A118427 , OEIS : A118428 ).
Una fórmula recursiva alternativa para el límite de la relación de dos consecutivos -los números de Nacci se pueden expresar como
- .
El caso especial es la serie tradicional de Fibonacci que produce la sección áurea .
Las fórmulas anteriores para la relación se mantienen incluso para -serie nacci generada a partir de números arbitrarios. El límite de esta relación es 2 comoaumenta. Una secuencia "infinacci", si se pudiera describir, después de un número infinito de ceros produciría la secuencia
- [..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32,…
que son simplemente los poderes de dos .
El límite de la relación para cualquier es la raíz positiva de la ecuación característica [10]
La raíz está en el intervalo . La raíz negativa de la ecuación característica está en el intervalo (-1, 0) cuandoincluso. Esta raíz y cada raíz compleja de la ecuación característica tiene módulo. [10]
Una serie para la raíz positiva para cualquier es [10]
No hay solución de la ecuación característica en términos de radicales cuando 5 ≤ n ≤ 11 . [10]
El k- ésimo elemento de la secuencia n -nacci viene dado por
dónde denota la función entera más cercana y es el -nacci constante, que es la raíz de más cercano a 2. [11]
Un problema de lanzamiento de una moneda está relacionado con la-secuencia nacci. La probabilidad de que no colas consecutivas ocurrirán en lanzamientos de una moneda idealizada es . [12]
Palabra de fibonacci
En analogía con su contraparte numérica, la palabra Fibonacci se define por:
dónde denota la concatenación de dos cadenas. La secuencia de cadenas de Fibonacci comienza:
- b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab,… (secuencia A106750 en la OEIS )
La longitud de cada cuerda de Fibonacci es un número de Fibonacci y, de manera similar, existe una cuerda de Fibonacci correspondiente para cada número de Fibonacci.
Las cadenas de Fibonacci aparecen como entradas para el peor de los casos en algunos algoritmos informáticos .
Si "a" y "b" representan dos materiales diferentes o longitudes de enlace atómico, la estructura correspondiente a una cuerda de Fibonacci es un cuasicristal de Fibonacci , una estructura de cuasicristal aperiódica con propiedades espectrales inusuales .
Secuencias de Fibonacci convolucionadas
Se obtiene una secuencia de Fibonacci convolucionada aplicando una operación de convolución a la secuencia de Fibonacci una o más veces. Específicamente, defina [13]
y
Las primeras secuencias son
- : 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71,… (secuencia A001629 en la OEIS ).
- : 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111,… (secuencia A001628 en la OEIS ).
- : 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105,… (secuencia A001872 en la OEIS ).
Las secuencias se pueden calcular utilizando la recurrencia
La función generadora de lala convolución es
Las secuencias están relacionadas con la secuencia de polinomios de Fibonacci por la relación
dónde es el th derivada de . Equivalentemente, es el coeficiente de Cuándo se expande en poderes de .
La primera convolución, puede escribirse en términos de los números de Fibonacci y Lucas como
y sigue la recurrencia
Se pueden encontrar expresiones similares para con una complejidad creciente como aumenta. Los númerosson las sumas de las filas del triángulo de Hosoya .
Al igual que con los números de Fibonacci, hay varias interpretaciones combinatorias de estas secuencias. Por ejemplo es la cantidad de formas se puede escribir como una suma ordenada que involucre solo 0, 1 y 2 con 0 usado exactamente una vez. En particulary 2 se pueden escribir 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . [14]
Otras generalizaciones
Los polinomios de Fibonacci son otra generalización de los números de Fibonacci.
La secuencia de Padovan es generada por la recurrencia.
La secuencia de las vacas de Narayana es generada por la recurrencia.
Se puede definir una secuencia de Fibonacci aleatoria lanzando una moneda para cada posición de la secuencia y tomando si aterriza cabezas y si aterriza cruz. El trabajo de Furstenberg y Kesten garantiza que esta secuencia crece casi con seguridad exponencialmente a una tasa constante: la constante es independiente de los lanzamientos de moneda y fue calculada en 1999 por Divakar Viswanath . Ahora se conoce como constante de Viswanath .
Un repfigit , o número de Keith , es un número entero tal que, cuando sus dígitos inician una secuencia de Fibonacci con ese número de dígitos, finalmente se alcanza el número original. Un ejemplo es 47, porque la secuencia de Fibonacci que comienza con 4 y 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) llega a 47. Un repfigit puede ser una secuencia de tribonacci si hay 3 dígitos en el número, un número de tetranacci si el número tiene cuatro dígitos, etc. Los primeros dígitos son:
- 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909,… (secuencia A007629 en la OEIS )
Dado que el conjunto de sucesiones que satisfacen la relación se cierra bajo la suma de términos y bajo la multiplicación de términos por una constante, se puede ver como un espacio vectorial . Cualquier secuencia de este tipo está determinada únicamente por la elección de dos elementos, por lo que el espacio vectorial es bidimensional. Si abreviamos tal secuencia como, la secuencia de Fibonacci y la secuencia de Fibonacci desplazada se considera que forman una base canónica para este espacio, dando la identidad:
para todos los tales secuencias S . Por ejemplo, si S es la secuencia de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , obtenemos
- .
Secuencia de Fibonacci generada por N
Podemos definir la secuencia de Fibonacci generada por N (donde N es un número racional positivo): si
donde p r es el primo r- ésimo, entonces definimos
Si , luego , y si , luego . [ cita requerida ]
Secuencia norte Secuencia OEIS secuencia Fibonacci 6 A000045 Secuencia de pell 12 A000129 Secuencia de Jacobsthal 18 A001045 Secuencia de Tribonacci 30 A000073 Secuencia de tetranacci 210 A000288 Secuencia de Padovan 15 A000931 Secuencia de las vacas de Narayana 10 A000930
Secuencia de Semi-Fibonacci
La secuencia semi-Fibonacci (secuencia A030067 en la OEIS ) se define mediante la misma recursividad para términos indexados impares y , pero para índices pares , . La bissección A030068 de términos indexados impares por lo tanto verifica y está aumentando estrictamente. Da el conjunto de los números semi-Fibonacci
- 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... ( secuencia A030068 en la OEIS )
que ocurren como .
Referencias
- ^ Triana, Juan. Números de Negafibonacci mediante matrices. Boletín de TICMI , 2019, págs. 19-24.
- ^ ¿Qué es un número de Fibonacci?
- ^ Pravin Chandra y Eric W. Weisstein . "Número de Fibonacci" . MathWorld .
- ^ Morrison, DR (1980), "A Stolarsky array of Wythoff pairs", A Collection of Manuscripts Related to the Fibonacci Sequence (PDF) , Santa Clara, CA: The Fibonacci Association, págs. 134-136, archivado desde el original (PDF ) el 4 de marzo de 2016 , consultado el 15 de julio de 2012.
- ^ Gardner, Martin (1961). The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, vol. II . Simon y Schuster. pag. 101.
- ^ Agronomof, M. (1914). "Sur une suite re´currente". Mathesis . 4 : 125-126.
- ^ Podani, János; Kun, Ádám; Szilágyi, András (2018). "¿Qué tan rápido crece la población de elefantes de Darwin?" (PDF) . Revista de Historia de la Biología . 51 (2): 259–281. doi : 10.1007 / s10739-017-9488-5 .
- ^ Feinberg, M. (1963). "Fibonacci-Tribonacci". Fibonacci Quarterly . 1 : 71–74.
- ^ Simon Plouffe, 1993
- ^ a b c d e Wolfram, DA (1998). "Resolución de recurrencias de Fibonacci generalizadas" (PDF) . Mentira. Quart .
- ^ Du, Zhao Hui, 2008
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- ^ VE Hoggatt, Jr. y M. Bicknell-Johnson, "Secuencias de convolución de Fibonacci" , Fib. Cuarto de galón. , 15 (1977), págs. 117-122.
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001629" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
enlaces externos
- "Número de Tribonacci" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]