En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un anillo R se llama hereditario si todos los submódulos de módulos proyectivos sobre R son nuevamente proyectivos. Si esto es necesario solo para submódulos generados de forma finita , se denomina semiheredado .
Para un anillo no conmutativo R , los términos hereditario izquierdo y semiheredo izquierdo y sus versiones del lado derecho se utilizan para distinguir la propiedad en un solo lado del anillo. Para ser izquierdos (semi-) hereditarios, todos los submódulos (generados finitamente) de los R -módulos proyectivos izquierdos deben ser proyectivos, y para ser derechos (semi-) hereditarios, todos los submódulos (generados finitamente) de los R -módulos proyectivos derechos deben ser proyectivos. Es posible que un anillo sea dejado (semi-) hereditario pero no derecho (semi-) hereditario, y viceversa.
Definiciones equivalentes
- El anillo R se deja (semi-) hereditario si y solo si todos los ideales izquierdos ( generados finitamente ) de R son módulos proyectivos. [1] [2]
- El anillo R se deja hereditario si y solo si todos los módulos de la izquierda tienen resoluciones proyectivas de longitud como máximo 1. Esto equivale a decir que la dimensión global izquierda es como máximo 1. Por lo tanto, los functores derivados habituales como y son triviales para .
Ejemplos de
- Los anillos semisimple son hereditarios de izquierda y derecha a través de las definiciones equivalentes: todos los ideales de izquierda y derecha son sumandos de R y, por lo tanto, son proyectivos. De manera similar, en un anillo regular de von Neumann, cada ideal izquierdo y derecho finitamente generado es un sumando directo de R , por lo que los anillos regulares de von Neumann son semihereditarios izquierdo y derecho.
- Para cualquier elemento x distinto de cero en un dominio R , a través del mapa . Por tanto, en cualquier dominio, un ideal de derecho principal es libre y, por tanto, proyectivo. Esto refleja el hecho de que los dominios tienen razón en los anillos de Rickart . De ello se deduce que si R es un dominio de Bézout derecho , de modo que los ideales correctos generados finitamente son principales, entonces R tiene todos los ideales correctos generados finitamente proyectivos y, por lo tanto, R es semiheredado derecho. Finalmente, si se supone que R es un dominio ideal derecho principal , entonces todos los ideales correctos son proyectivos y R es hereditario correcto.
- Un dominio integral hereditario conmutativo se denomina dominio de Dedekind . Un dominio integral semihereditario conmutativo se denomina dominio de Prüfer .
- Un ejemplo importante de un anillo hereditario (izquierda) es el álgebra de trayectoria de un carcaj . Esto es una consecuencia de la existencia de la resolución estándar (que es de longitud 1) para módulos sobre un álgebra de ruta.
- El anillo de matriz triangular es hereditaria derecha y semihereditaria izquierda pero no hereditaria izquierda.
- Si S es un anillo regular de von Neumann con un ideal I que no es un sumando directo, entonces el anillo de matriz triangular es semihereditario izquierdo pero no semihereditario derecho.
Propiedades
- Para un anillo hereditario izquierdo R , cada submódulo de un módulo R izquierdo libre es isomorfo a una suma directa de ideales izquierdos de R y, por lo tanto, es proyectivo. [2]
Referencias
- Crawley-Boevey, William , Notas sobre la representación del carcaj (PDF)
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 , Zbl 0.911,16001
- Osborne, M. Scott (2000), Álgebra homológica básica , Textos de posgrado en matemáticas, 196 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98934-X, Zbl 0948.18001
- Reiner, I. (2003), Órdenes máximas , Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie, 28 , Oxford University Press , ISBN 0-19-852673-3, Zbl 1024.16008
- Weibel, Charles A. (1994), Una introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-43500-5, Zbl 0797.18001