16 celdas

Hexadecacoron regular (16 celdas) (4 ortoplex)
Diagrama de Schlegel (vértices y aristas)
Escribe	Convexo regular 4-politopos 4- ortoplex 4- demicube
Símbolo de Schläfli	{3,3,4}
Diagrama de Coxeter
Células	16 {3,3}
Caras	32 {3}
Bordes	24
Vértices	8
Figura de vértice	Octaedro
Polígono de Petrie	octágono
Grupo Coxeter	B ₄ , [3,3,4], orden 384 D ₄ , orden 192
Doble	Tesseract
Propiedades	convexo , isogonal , isotoxal , isoédrico , regular
Índice uniforme	12

En geometría de cuatro dimensiones , un 16-celdas es un 4-politopo convexo regular . Es uno de los seis politopos convexos regulares descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. También se le llama C ₁₆ , hexadecachoron , ^[1] o hexdecahedroid . ^[2]

Es parte de una familia infinita de politopos, llamados politopos cruzados u ortoplejos , y es análogo al octaedro en tres dimensiones. Es el politopo de Coxeter . ^[3] El nombre de Conway para un politopo cruzado es orthoplex , para orthant complex . El politopo dual es el tesseract (4- cubo ), con el que se puede combinar para formar una figura compuesta . El de 16 celdas tiene 16 celdas, ya que el tesseract tiene 16 vértices. ${\ Displaystyle \ beta _ {4}}$

Geometría

El de 16 celdas es el segundo en la secuencia de 6 politopos regulares convexos de 4 (en orden de tamaño y complejidad). ^[a]

Cada uno de sus 4 politopos regulares convexos sucesores se puede construir como el casco convexo de un compuesto politopo de múltiples 16 celdas: el tesseract de 16 vértices como un compuesto de dos de 16 celdas, el de 24 vértices de 24 celdas como un compuesto de tres 16 celdas, el de 120 vértices y 600 celdas como un compuesto de quince 16 celdas, y el de 600 vértices de 120 celdas como un compuesto de setenta y cinco 16 celdas.

Coordenadas

La celda de 16 es el politopo cruzado de 4 dimensiones , lo que significa que sus vértices se encuentran en pares opuestos en los 4 ejes de un sistema de coordenadas cartesiano (w, x, y, z).

Los ocho vértices son (± 1, 0, 0, 0), (0, ± 1, 0, 0), (0, 0, ± 1, 0), (0, 0, 0, ± 1). Todos los vértices están conectados por aristas excepto los pares opuestos. La longitud del borde es √ 2 .

Las 16 celdas constituyen una base para la elección de un marco de referencia cartesiano de 4 dimensiones, porque sus vértices definen exactamente los cuatro ejes ortogonales. ^[B]

Estructura

El símbolo de Schläfli de las 16 celdas es {3,3,4}, lo que indica que sus celdas son tetraedros regulares {3,3} y su figura de vértice es un octaedro regular {3,4}. Hay 8 tetraedros, 12 triángulos y 6 aristas que se encuentran en cada vértice. Su figura de borde es un cuadrado. Hay 4 tetraedros y 4 triángulos que se encuentran en cada borde.

La celda de 16 está delimitada por 16 celdas , todas las cuales son tetraedros regulares . ^[c] Tiene 32 caras triangulares , 24 aristas y 8 vértices . Los 24 bordes delimitan 6 cuadrados centrales ortogonales que se encuentran en grandes círculos en los 6 planos de coordenadas (3 pares de grandes cuadrados completamente ortogonales ^[d] ). En cada vértice, 3 grandes cuadrados se cruzan perpendicularmente. Los 6 bordes se encuentran en el vértice de la misma manera que los 6 bordes se encuentran en el vértice de una pirámide octaédrica canónica . ^[mi]

Rotaciones

Proyección 3D de 16 celdas realizando una rotación simple.

Proyección 3D de 16 celdas realizando una doble rotación.

Las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones pueden verse como la composición de dos rotaciones de 2 dimensiones en planos completamente ortogonales. ^[5] El cuadro de 16 celdas es un marco simple en el que observar rotaciones de 4 dimensiones, porque cada uno de los 6 grandes cuadrados de las 16 celdas tiene otro gran cuadrado completamente ortogonal (hay 3 pares de cuadrados completamente ortogonales). ^[b] Muchas rotaciones de las 16 celdas pueden caracterizarse por el ángulo de rotación en uno de sus grandes planos cuadrados y otro ángulo de rotación en el gran plano cuadrado completamente ortogonal. ^[f] Los grandes cuadrados completamente ortogonales tienen vértices disjuntos: 4 de los 8 vértices de las 16 celdas giran en un plano, y los otros 4 giran independientemente en el plano completamente ortogonal.^[h]

En 2 o 3 dimensiones, una rotación se caracteriza por un solo plano de rotación; este tipo de rotación que tiene lugar en 4 espacios se denomina rotación simple , en la que solo gira uno de los dos planos completamente ortogonales (el ángulo de rotación en el otro plano es 0). En las 16 celdas, una simple rotación en uno de los 6 planos ortogonales mueve solo 4 de los 8 vértices; los otros 4 permanecen fijos. (En la animación de rotación simple anterior, los 8 vértices se mueven porque el plano de rotación no es uno de los 6 planos de base ortogonales).

En una doble rotación ambos conjuntos de 4 vértices se mueven, pero de forma independiente: los ángulos de rotación pueden ser diferentes en los 2 planos completamente ortogonales. Si los dos ángulos son iguales, se produce una rotación isoclínica simétrica máxima . ^[i] En las 16 celdas, una rotación isoclínica de 90 grados lleva cada plano cuadrado a su plano cuadrado completamente ortogonal.

Construcciones

Bipirámide octaédrica

La construcción más simple de las 16 celdas está en el politopo cruzado tridimensional, el octaedro . El octaedro tiene 3 ejes perpendiculares y 6 vértices en 3 pares opuestos. Agregue otro par de vértices, en un cuarto eje perpendicular a los 3 otros ejes. Conecte cada nuevo vértice a los 6 vértices originales, agregando 12 nuevos bordes. Esto levanta dos pirámides octaédricas en una base de octaedro compartida que se encuentra en el hiperplano central de las 16 células. ^[8]

Construcciones Wythoff

El de 16 celdas tiene dos construcciones Wythoff , una forma regular y una forma alterna, que se muestran aquí como redes , la segunda está representada por dos colores alternativos de celdas tetraédricas.

Construcción helicoidal

Proyección neta y ortogonal

Se puede construir una celda de 16 a partir de dos hélices de Boerdijk-Coxeter de ocho tetraedros encadenados, cada uno doblado en la cuarta dimensión en un anillo. Los dos hélex circulares giran en espiral uno alrededor del otro, se encajan entre sí y se atraviesan formando un enlace Hopf . Las 16 caras de los triángulos se pueden ver en una red 2D dentro de un mosaico triangular , con 6 triángulos alrededor de cada vértice. Los bordes morados representan el polígono de Petrie de las 16 celdas.

Por lo tanto, las 16 celdas se pueden descomponer en dos cadenas circulares disjuntas similares de ocho tetraedros cada una, de cuatro bordes de largo. Esta descomposición se puede ver en una construcción de duoantiprismo 4-4 de las 16 celdas: o , Símbolo de Schläfli {2} ⨂ {2} os {2} s {2}, simetría 4,2 ⁺ , 4, orden 64.

Como configuración

Esta matriz de configuración representa las 16 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en las 16 celdas completas. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en el mismo.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 8 & 6 & 12 & 8 \\ 2 & 24 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 32 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 16 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Teselaciones

Uno puede teselar el espacio euclidiano de 4 dimensiones con 16 celdas regulares. Esto se llama panal de 16 celdas y tiene el símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Por lo tanto, las 16 celdas tienen un ángulo diedro de 120 °. ^[9] Cada 16 celdas tiene 16 vecinos con los que comparte un tetraedro, 24 vecinos con los que comparte solo una arista y 72 vecinos con los que comparte solo un punto. Veinticuatro 16 celdas se encuentran en cualquier vértice dado en esta teselación.

El mosaico dual, el panal de 24 celdas , {3,4,3,3}, está formado por 24 celdas regulares . Junto con el panal teseractic {4,3,3,4}, estos son los únicos tres teselados regulares de R ⁴ .

Proyecciones

Proyección estereográfica

proyecciones ortográficas
Avión de Coxeter	B ₄	B ₃ / D ₄ / A ₂	B ₂ / D ₃
Grafico
Simetría diedro	[8]	[6]	[4]
Avión de Coxeter	F ₄	A ₃
Grafico
Simetría diedro	[12/3]	[4]

Sobres de proyección de 16 celdas. (Cada celda se dibuja con caras de diferentes colores, las celdas invertidas no se dibujan)

La proyección paralela de la primera celda de las 16 celdas en 3 espacios tiene una envolvente cúbica . Las celdas más cercanas y más lejanas se proyectan a tetraedros inscritos dentro del cubo, correspondientes a las dos formas posibles de inscribir un tetraedro regular en un cubo. Alrededor de cada uno de estos tetraedros hay otros 4 volúmenes tetraédricos (no regulares) que son las imágenes de las 4 células tetraédricas circundantes, que llenan el espacio entre el tetraedro inscrito y el cubo. Las 6 celdas restantes se proyectan sobre las caras cuadradas del cubo. En esta proyección de la celda de 16, todos sus bordes se encuentran en las caras del sobre cúbico.

La proyección en perspectiva de la primera celda de las 16 celdas en el espacio tridimensional tiene una envoltura tetraédrica triaquis . La disposición de las celdas dentro de esta envoltura es análoga a la de la proyección paralela de la primera celda.

La proyección paralela del primer vértice de las 16 celdas en el espacio tridimensional tiene una envolvente octaédrica . Este octaedro se puede dividir en 8 volúmenes tetraédricos, cortando a lo largo de los planos de coordenadas. Cada uno de estos volúmenes es la imagen de un par de celdas en las 16 celdas. El vértice más cercano de las 16 celdas al espectador se proyecta en el centro del octaedro.

Finalmente, la proyección paralela de borde primero tiene una envolvente octaédrica acortada, y la proyección paralela de primera cara tiene una envolvente bipiramidal hexagonal .

Diagrama de Venn de 4 esferas

Una proyección tridimensional de las 16 celdas y las 4 esferas que se cruzan (un diagrama de Venn de 4 conjuntos) son topológicamente equivalentes.

Las 16 celdas ordenadas por número de esferas que se cruzan (de 0 a 4) (ver todas las celdas y k- caras )

Diagrama de Venn de 4 esferas y proyección de 16 celdas en la misma orientación

Construcciones de simetría

Hay una forma de simetría más baja de las 16 celdas , llamada demitesseract o 4-demicube , un miembro de la familia demihipercubo , y representada por h {4,3,3} y diagramas de Coxeter o . Se puede dibujar bicolor con celdas tetraédricas alternas .

También se puede ver en forma de simetría más baja como un antiprisma tetraédrico , construido por 2 tetraedros paralelos en configuraciones duales, conectados por 8 tetraedros (posiblemente alargados). Está representado por s {2,4,3} y el diagrama de Coxeter:.

También puede ser visto como un desaire 4- orthotope , representada por s {2 ^1,1,1 }, y el diagrama de Coxeter: o .

Con el tesseract construido como un duoprisma 4-4 , el de 16 celdas puede verse como su doble, una duopirámide 4-4 .

Nombre	Diagrama de Coxeter	Símbolo de Schläfli	Notación Coxeter	Orden
Normal de 16 celdas		{3,3,4}	[3,3,4]	384
Demitesseract Cuasirregular 16 celdas	= =	h {4,3,3} {3,3 ^1,1 }	[3 ^1,1,1 ] = [1 ⁺ , 4,3,3]	192
Duoprisma 4-4 alterno		2 s {4,2,4}	[[4,2 ⁺ , 4]]	64
Antiprisma tetraédrico		s {2,4,3}	[2 ⁺ , 4,3]	48
Prisma prisma cuadrado alternado		sr {2,2,4}	[(2,2) ⁺ , 4]	dieciséis
Rechazo 4- ortotópico	=	s {2 ^1,1,1 }	[2,2,2] ⁺ = [2 ^1,1,1 ] ⁺	8
4- fusil
		{3,3,4}	[3,3,4]	384
		{4} + {4} o 2 {4}	[[4,2,4]] = [8,2 ⁺ , 8]	128
		{3,4} + {}	[4,3,2]	96
		{4} +2 {}	[4,2,2]	32
		{} + {} + {} + {} o 4 {}	[2,2,2]	dieciséis

Polígonos complejos relacionados

El polígono de Möbius-Kantor es un polígono complejo regular ₃ {3} ₃ ,, en comparte los mismos vértices que el de 16 celdas. Tiene 8 vértices y 8 3 aristas. ^[10]^[11] ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

El polígono complejo regular, ₂ {4} ₄ ,, en tiene una representación real como 16 celdas en un espacio de 4 dimensiones con 8 vértices, 16 2 aristas, solo la mitad de los bordes de las 16 celdas. Su simetría es ₄ [4] ₂ , orden 32. ^[12] ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Proyecciones ortográficas de ₂ {4} ₄ polígonos
En el plano B ₄ Coxeter , ₂ {4} ₄ tiene 8 vértices y 16 2 aristas, que se muestran aquí con 4 conjuntos de colores.	Los 8 vértices se agrupan en 2 conjuntos (mostrados en rojo y azul), cada uno solo conectado con aristas a vértices en el otro conjunto, haciendo de este polígono un gráfico bipartito completo , K _4,4 . ^[13]

Politopos uniformes y panales relacionados

Las 16 celdas regulares junto con el tesseract existen en un conjunto de 15 4 politopos uniformes con la misma simetría . También es parte de los politopos uniformes de simetría D 4 .

Este 4-politopo también se relaciona con el panal cúbico , orden-4 de nido de abeja de dodecaedro , y orden-4 de nido de abeja teselado hexagonal que todos tienen cifras octaédricos vértice .

Está en una secuencia de tres politopos regulares de 4 : el {3,3,3} de 5 celdas , el {3,3,5} de 600 celdas del 4-espacio euclidiano y el panal tetraédrico de orden 6 {3, 3,6} de espacio hiperbólico. Todos estos tienen células tetraédricas .

Es el primero en una secuencia de politopos y panales cuasirregulares h {4, p, q}, y una secuencia de media simetría , para formas regulares {p, 3,4}.

Ver también

24 celdas
4-politopo
Politopo D4

v t mi Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en dimensiones 2–10
Familia	Un n	B n	Yo ₂ (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Demicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Policoron uniforme	Pentacoron	16 celdas • Tesseract	Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
5 politopos uniformes	5 simplex	5-ortoplex • 5-cubo	5-demicubo
6 politopos uniformes	6-simplex	6 ortoplex • 6 cubos	6-demicubo	1 22 • 2 21
7 politopos uniformes	7-simplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicubo	1 32 • 2 31 • 3 21
Politopo uniforme de 8	8 simplex	8 ortoplex • 8 cubos	8-demicubo	1 42 • 2 41 • 4 21
9 politopos uniformes	9 simplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubo
Politopo uniforme 10	10-simplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubo
Uniforme n - politopo	n - simplex	n - ortoplejo • n - cubo	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politopo pentagonal
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos

Notas

^ Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida del contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, encerrando más contenido^[4] dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida mediante la comparación de matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de nomenclatura numérico alternativo para politopos regulares en el que la celda de 16 es el 4-politopo de 8 puntos: el segundo en la secuencia ascendente que va desde el 4-politopo de 5 puntos al 4-politopo de 600 puntos.
^ a b c d En un espacio de 4 dimensiones podemos construir 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares a través de un punto. Sin pérdida de generalidad, podemos considerar que estos son los ejes y los planos centrales ortogonales de un sistema de coordenadas cartesiano (w, x, y, z). En 4 dimensiones tenemos los mismos 3 planos ortogonales (xy, xz, yz) que tenemos en 3 dimensiones, y también otros 3 (wx, wy, wz). Cada uno de los 6 planos ortogonales comparte un eje con 4 de los demás, y es completamente ortogonal a solo uno de los otros: el único con el que no comparte eje. Por lo tanto, hay 3 pares de planos completamente ortogonales: xy y wz se cruzan solo en el origen; xz y wy se cruzan solo en el origen; yz y wx se cruzan solo en el origen.
^ La superficie límite de una celda de 16 es un espacio tridimensional finito que consta de 16 tetraedros dispuestos cara a cara (cuatro alrededor de uno). Es un espacio tridimensional cerrado, fuertemente curvado (no euclidiano), dentro del cual podemos movernos directamente a través de 4 tetraedros en cualquier dirección y regresar al tetraedro donde comenzamos. Podemos visualizar moviéndonos dentro de este gimnasio de jungla tetraédrico, subiendo de un tetraedro a otro en sus 24 puntales (sus bordes), y nunca pudiendo salir (o ver) de los 16 tetraedros sin importar en qué dirección vayamos (o Mira). Siempre estamos en (o en) la superficiede 16 celdas, nunca dentro de la propia 16 celdas (ni fuera de ella). Podemos ver que los 6 bordes alrededor de cada vértice irradian simétricamente en 3 dimensiones y forman una cruz ortogonal de 3 ejes, tal como lo hacen los radios de un octaedro (por lo que decimos que la figura del vértice de las 16 celdas es el octaedro).
^ Dos planos A y B de un espacio euclidiano de cuatro dimensiones se llaman completamente ortogonales si y solo si cada línea en A es ortogonal a cada línea en B. En ese caso, los planos A y B se intersecan en un solo punto O, entonces que si una línea en A se cruza con una línea en B, se cruzan en O.^[b]
^ Cada vértice de las 16 celdas es el vértice de una pirámide octaédrica, cuya base es el octaedro formado por los otros 6 vértices a los que el ápice está conectado por aristas. La celda de 16 se puede deconstruir (seis formas diferentes) en dos pirámides octaédricas cortándola por la mitad a través de uno de sus seis hiperplanos centrales octaédricos. Visto desde el interior del espacio tridimensional curvo de la superficie límite, la figura del vértice es un octaedro. En 4 dimensiones, el octaedro es en realidad una pirámide octaédrica. El vértice de la pirámide octaédrica (el vértice donde se unen los 6 bordes) no está realmente en el centro del octaedro: está desplazado radialmente hacia afuera en la cuarta dimensión, fuera del hiperplano definido por los 6 vértices del octaedro. Los 6 bordes forman una cruz ortogonal de 3 ejes en 3 dimensiones (y en la proyección tridimensional de la 4 pirámide), pero las 3 líneas están dobladas 90 grados en la cuarta dimensión donde se encuentran en un vértice.
^ a b Cada gran vértice cuadrado está √ 2 distante de dos de los otros vértices del cuadrado, y √ 4 distante de su vértice opuesto. Los otros cuatro vértices de las 16 celdas (también √ 2 distantes) son los vértices del cuadrado completamente ortogonal del cuadrado.
^ Los paralelos de Clifford son líneas curvas que no se cruzan y que son paralelas en el sentido de que la distancia perpendicular (más corta) entre ellas es la misma en cada punto. Una doble hélice es un ejemplo del paralelismo de Clifford en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. En el espacio 4, los paralelos de Clifford ocurren como grandes círculos geodésicos en la esfera 3 .^[6] En las 16 celdas, los vértices correspondientes de los grandes círculos cuadrados completamente ortogonales estánseparados por √ 2 , por lo que son paralelos a Clifford.^[f] Note que solo los vértices de los grandes cuadrados (los puntos en el gran círculo) estánseparados por √ 2 ; los puntos en los bordes de los cuadrados (en las cuerdas del círculo) están más juntos.
^ Los grandes cuadrados completamente ortogonales no se cruzan y giran independientemente porque los grandes círculos en los que se encuentran sus vértices son paralelos a Clifford .^[g] Los dos cuadrados no pueden cruzarse en absoluto porque se encuentran en planos que se cruzan en un solo punto: el centro de las 16 celdas.^[b] Debido a que son perpendiculares y comparten un centro común, los dos cuadrados obviamente no son paralelos y están separados de la forma habitual de los cuadrados paralelos en 3 dimensiones; más bien están conectados como eslabones cuadrados adyacentes en una cadena, cada uno pasando a través del otro sin cruzarse en ningún punto, formando un eslabón de Hopf .
^ En una rotación isoclínica, los 6 planos ortogonales son planos de rotación invariantes que giran en el mismo ángulo. ^[7] Un desplazamiento isoclínico (también conocido comodesplazamiento de Clifford ) tiene una diagonal de 4 dimensiones. Los puntos se desplazan una distancia igual en las cuatro dimensiones a la vez, y se desplazan una distancia pitagórica totaligual a la raíz cuadrada del doble de esa distancia (como en la unidad de radio de 16 celdas, la longitud del borde es √ 2 ).

Citas

^ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter , p.249
^ Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), p.68
^ Coxeter 1973 , págs. 120 = 121, §7.2. Véase la ilustración Fig 7.2 B .
^ Coxeter 1973 , págs. 292-293, Tabla I (ii): Los dieciséis politopos regulares { p, q, r } en cuatro dimensiones: [Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4-politopo en unidades de longitud de borde. Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de unidad de radio.]
^ Kim y Rote , 2016 , p. sesenta y cinco. Rotaciones de cuatro dimensiones.
^ Kim y Rote , 2016 , págs. 7 a 10, §6. Ángulos entre dos planos en 4 espacios.
^ Kim y Rote 2016 , págs. 8-10, Relaciones con el paralelismo de Clifford.
^ Coxeter 1973 , p. 121, §7.21. Ver ilustración Fig 7.2 B : "es una bipirámide de cuatro dimensiones basada en(con sus dos ápices en direcciones opuestas a lo largo de la cuarta dimensión)". ${\ Displaystyle \ beta _ {4}}$ $\beta _{3}$
^ Coxeter 1973 , p. 293.
^ Coxeter y Shephard, 1991, p.30 y p.47
^ Coxeter y Shephard, 1992
^ Politopos complejos regulares, p. 108
^ Politopos complejos regulares, p.114

Referencias

T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
HSM Coxeter :
- Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). Nueva York: Dover.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 _n1 )
Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. (1966)
Kim, Heuna; Rote, G. (2016). "Prueba de congruencia de conjuntos de puntos en 4 dimensiones" . ArXiv .

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "16 celdas" . MathWorld .
Der 16-Zeller (16 celdas) Politopos regulares de Marco Möller en R ⁴ (alemán)
Descripción y diagramas de proyecciones de 16 celdas
Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora) x3o3o4o - hex" .

[polytopes_ordered_by_size_and_complexity-5] Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida del contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, encerrando más contenido^[4] dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida mediante la comparación de matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de nomenclatura numérico alternativo para politopos regulares en el que la celda de 16 es el 4-politopo de 8 puntos: el segundo en la secuencia ascendente que va desde el 4-politopo de 5 puntos al 4-politopo de 600 puntos.

[six_orthogonal_planes_of_the_Cartesian_basis-6] En un espacio de 4 dimensiones podemos construir 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares a través de un punto. Sin pérdida de generalidad, podemos considerar que estos son los ejes y los planos centrales ortogonales de un sistema de coordenadas cartesiano (w, x, y, z). En 4 dimensiones tenemos los mismos 3 planos ortogonales (xy, xz, yz) que tenemos en 3 dimensiones, y también otros 3 (wx, wy, wz). Cada uno de los 6 planos ortogonales comparte un eje con 4 de los demás, y es completamente ortogonal a solo uno de los otros: el único con el que no comparte eje. Por lo tanto, hay 3 pares de planos completamente ortogonales: xy y wz se cruzan solo en el origen; xz y wy se cruzan solo en el origen; yz y wx se cruzan solo en el origen.

[7] La superficie límite de una celda de 16 es un espacio tridimensional finito que consta de 16 tetraedros dispuestos cara a cara (cuatro alrededor de uno). Es un espacio tridimensional cerrado, fuertemente curvado (no euclidiano), dentro del cual podemos movernos directamente a través de 4 tetraedros en cualquier dirección y regresar al tetraedro donde comenzamos. Podemos visualizar moviéndonos dentro de este gimnasio de jungla tetraédrico, subiendo de un tetraedro a otro en sus 24 puntales (sus bordes), y nunca pudiendo salir (o ver) de los 16 tetraedros sin importar en qué dirección vayamos (o Mira). Siempre estamos en (o en) la superficiede 16 celdas, nunca dentro de la propia 16 celdas (ni fuera de ella). Podemos ver que los 6 bordes alrededor de cada vértice irradian simétricamente en 3 dimensiones y forman una cruz ortogonal de 3 ejes, tal como lo hacen los radios de un octaedro (por lo que decimos que la figura del vértice de las 16 celdas es el octaedro).

[completely_orthogonal_planes-8] Dos planos A y B de un espacio euclidiano de cuatro dimensiones se llaman completamente ortogonales si y solo si cada línea en A es ortogonal a cada línea en B. En ese caso, los planos A y B se intersecan en un solo punto O, entonces que si una línea en A se cruza con una línea en B, se cruzan en O.^[b]

[9] Cada vértice de las 16 celdas es el vértice de una pirámide octaédrica, cuya base es el octaedro formado por los otros 6 vértices a los que el ápice está conectado por aristas. La celda de 16 se puede deconstruir (seis formas diferentes) en dos pirámides octaédricas cortándola por la mitad a través de uno de sus seis hiperplanos centrales octaédricos. Visto desde el interior del espacio tridimensional curvo de la superficie límite, la figura del vértice es un octaedro. En 4 dimensiones, el octaedro es en realidad una pirámide octaédrica. El vértice de la pirámide octaédrica (el vértice donde se unen los 6 bordes) no está realmente en el centro del octaedro: está desplazado radialmente hacia afuera en la cuarta dimensión, fuera del hiperplano definido por los 6 vértices del octaedro. Los 6 bordes forman una cruz ortogonal de 3 ejes en 3 dimensiones (y en la proyección tridimensional de la 4 pirámide), pero las 3 líneas están dobladas 90 grados en la cuarta dimensión donde se encuentran en un vértice.

[completely_orthogonal_squares-11] Cada gran vértice cuadrado está √ 2 distante de dos de los otros vértices del cuadrado, y √ 4 distante de su vértice opuesto. Los otros cuatro vértices de las 16 celdas (también √ 2 distantes) son los vértices del cuadrado completamente ortogonal del cuadrado.

[13] ^ Los paralelos de Clifford son líneas curvas que no se cruzan y que son paralelas en el sentido de que la distancia perpendicular (más corta) entre ellas es la misma en cada punto. Una doble hélice es un ejemplo del paralelismo de Clifford en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. En el espacio 4, los paralelos de Clifford ocurren como grandes círculos geodésicos en la esfera 3 .^[6] En las 16 celdas, los vértices correspondientes de los grandes círculos cuadrados completamente ortogonales estánseparados por √ 2 , por lo que son paralelos a Clifford.^[f] Note que solo los vértices de los grandes cuadrados (los puntos en el gran círculo) estánseparados por √ 2 ; los puntos en los bordes de los cuadrados (en las cuerdas del círculo) están más juntos.

[14] Los grandes cuadrados completamente ortogonales no se cruzan y giran independientemente porque los grandes círculos en los que se encuentran sus vértices son paralelos a Clifford .^[g] Los dos cuadrados no pueden cruzarse en absoluto porque se encuentran en planos que se cruzan en un solo punto: el centro de las 16 celdas.^[b] Debido a que son perpendiculares y comparten un centro común, los dos cuadrados obviamente no son paralelos y están separados de la forma habitual de los cuadrados paralelos en 3 dimensiones; más bien están conectados como eslabones cuadrados adyacentes en una cadena, cada uno pasando a través del otro sin cruzarse en ningún punto, formando un eslabón de Hopf .

[16] En una rotación isoclínica, los 6 planos ortogonales son planos de rotación invariantes que giran en el mismo ángulo. ^[7] Un desplazamiento isoclínico (también conocido comodesplazamiento de Clifford ) tiene una diagonal de 4 dimensiones. Los puntos se desplazan una distancia igual en las cuatro dimensiones a la vez, y se desplazan una distancia pitagórica totaligual a la raíz cuadrada del doble de esa distancia (como en la unidad de radio de 16 celdas, la longitud del borde es √ 2 ).

[1] NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter , p.249

[2] Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), p.68

[FOOTNOTECoxeter1973120=121§7.2._See_illustration_Fig_7.2<small>B</small>-3] Coxeter 1973 , págs. 120 = 121, §7.2. Véase la ilustración Fig 7.2 B .

[FOOTNOTECoxeter1973292-293Table_I(ii):_The_sixteen_regular_polytopes_{''p,q,r''}_in_four_dimensions-4] Coxeter 1973 , págs. 292-293, Tabla I (ii): Los dieciséis politopos regulares { p, q, r } en cuatro dimensiones: [Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4-politopo en unidades de longitud de borde. Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de unidad de radio.]

[FOOTNOTEKimRote20166§5._Four-Dimensional_Rotations-10] Kim y Rote , 2016 , p. sesenta y cinco. Rotaciones de cuatro dimensiones.

[FOOTNOTEKimRote20167-10§6._Angles_between_two_Planes_in_4-Space-12] Kim y Rote , 2016 , págs. 7 a 10, §6. Ángulos entre dos planos en 4 espacios.

[FOOTNOTEKimRote20168-10Relations_to_Clifford_Parallelism-15] Kim y Rote 2016 , págs. 8-10, Relaciones con el paralelismo de Clifford.

[FOOTNOTECoxeter1973121§7.21._See_illustration_Fig_7.2<small>B</small>-17] Coxeter 1973 , p. 121, §7.21. Ver ilustración Fig 7.2 B : "es una bipirámide de cuatro dimensiones basada en(con sus dos ápices en direcciones opuestas a lo largo de la cuarta dimensión)". ${\ Displaystyle \ beta _ {4}}$ $\beta _{3}$

[FOOTNOTECoxeter1973293-18] Coxeter 1973 , p. 293.

[19] Coxeter y Shephard, 1991, p.30 y p.47

[20] Coxeter y Shephard, 1992

[21] Politopos complejos regulares, p. 108

[22] Politopos complejos regulares, p.114

[1]