El vigésimo primer problema de los 23 problemas de Hilbert , de la célebre lista presentada en 1900 por David Hilbert , se refiere a la existencia de una cierta clase de ecuaciones diferenciales lineales con puntos singulares específicos y grupo monodrómico .
Declaración
El problema original se expresó de la siguiente manera (traducción al inglés de 1902):
- Prueba de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen un grupo monodrómico prescrito
- En la teoría de ecuaciones diferenciales lineales con una variable independiente z, deseo indicar un problema importante que muy probablemente el mismo Riemann pudo haber tenido en mente. Este problema es el siguiente: Demostrar que siempre existe una ecuación diferencial lineal de la clase fucsiana , con puntos singulares y grupo monodrómico dados . El problema requiere la producción de n funciones de la variable z, regulares en todo el plano z complejo excepto en los puntos singulares dados; en estos puntos, las funciones pueden volverse infinitas de sólo orden finito, y cuando z describe circuitos alrededor de estos puntos, las funciones deben sufrir las sustituciones lineales prescritas . Se ha demostrado que la existencia de tales ecuaciones diferenciales es probable contando las constantes , pero la demostración rigurosa se ha obtenido hasta este momento solo en el caso particular donde las ecuaciones fundamentales de las sustituciones dadas tienen raíces todas de magnitud absoluta unidad. L. Schlesinger ( 1895 ) ha dado esta prueba, basada en la teoría de Poincaré de las funciones zeta fucsianas . La teoría de las ecuaciones diferenciales lineales tendría, evidentemente, una apariencia más acabada si el problema aquí esbozado pudiera resolverse mediante algún método perfectamente general. [1]
Definiciones
De hecho, es más apropiado hablar no de ecuaciones diferenciales sino de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales: para realizar cualquier monodromía mediante una ecuación diferencial, uno tiene que admitir, en general, la presencia de singularidades aparentes adicionales, es decir, singularidades con trivial local. monodromía. En lenguaje más moderno, los (sistemas de) ecuaciones diferenciales en cuestión son los definidos en el plano complejo , menos unos pocos puntos, y con una singularidad regular en esos. Una versión más estricta del problema requiere que estas singularidades sean fucsias , es decir, polos de primer orden (polos logarítmicos). Se prescribe un grupo de monodromía , mediante una representación compleja de dimensión finita del grupo fundamental del complemento en la esfera de Riemann de esos puntos, más el punto en el infinito , hasta la equivalencia. El grupo fundamental es en realidad un grupo libre , en "circuitos" que van una vez alrededor de cada punto faltante, comenzando y terminando en un punto base dado . La pregunta es si el mapeo de estas ecuaciones fucsianas a clases de representaciones es sobreyectivo .
Historia
Este problema se denomina más comúnmente problema de Riemann-Hilbert . Ahora existe una versión moderna ( módulo D y categoría derivada ), la ' correspondencia Riemann-Hilbert ' en todas las dimensiones. La historia de las pruebas que involucran una sola variable compleja es complicada. Josip Plemelj publicó una solución en 1908. Este trabajo fue aceptado durante mucho tiempo como una solución definitiva; También hubo trabajo de GD Birkhoff en 1913, pero toda el área, incluido el trabajo de Ludwig Schlesinger sobre deformaciones isomonodrómicas que mucho más tarde revivirían en conexión con la teoría del solitón , pasó de moda. Plemelj (1964) escribió una monografía resumiendo su trabajo. Unos años más tarde, el matemático soviético Yuliy S. Il'yashenko y otros comenzaron a plantear dudas sobre el trabajo de Plemelj. De hecho, Plemelj prueba correctamente que cualquier grupo de monodromía se puede realizar mediante un sistema lineal regular que es fucsiano en todos los puntos menos en uno. La afirmación de Plemelj de que el sistema también puede hacerse fucsiano en el último punto es incorrecta. (Il'yashenko ha demostrado que si uno de los operadores de monodromía es diagonalizable, entonces la afirmación de Plemelj es cierta).
De hecho, Andrey A. Bolibrukh ( 1990 ) encontró un contraejemplo a la declaración de Plemelj. Esto se considera comúnmente como un contraejemplo de la pregunta precisa que Hilbert tenía en mente; Bolibrukh mostró que para una determinada configuración de polos, ciertos grupos de monodromía pueden realizarse mediante sistemas regulares, pero no fucsianos. (En 1990 publicó el estudio exhaustivo del caso de sistemas regulares de tamaño 3 que presenta todas las situaciones en las que existen tales contraejemplos. En 1978 Dekkers había demostrado que para los sistemas de tamaño 2 la afirmación de Plemelj es cierta. Andrey A. Bolibrukh ( 1992 ) e independientemente Vladimir Kostov ( 1992 ) mostró que para cualquier tamaño, un grupo de monodromía irreducible puede ser realizado por un sistema fucsiano. La codimensión de la variedad de grupos de monodromía de sistemas regulares de tamaño con polos que no pueden ser realizados por los sistemas fucsianos es igual a ( Vladimir Kostov ( 1992 )). Paralelamente, la escuela Grothendieck de geometría algebraica se había interesado en cuestiones de "conexiones integrables en variedades algebraicas", generalizando la teoría de ecuaciones diferenciales lineales en superficies de Riemann . Pierre Deligne demostró una correspondencia precisa de Riemann-Hilbert en este contexto general (un punto importante es decir lo que significa "fucsiano"). Con el trabajo de Helmut Röhrl , se volvió a cubrir el caso en una dimensión compleja.
Ver también
Referencias
- Anosov, DV; Bolibruch, AA (1994), El problema de Riemann-Hilbert , Aspectos de las matemáticas, E22, Braunschweig: Friedr. Vieweg y Sohn, doi : 10.1007 / 978-3-322-92909-9 , ISBN 978-3-528-06496-9, MR 1276272
- Bolibrukh, AA (1990), "El problema de Riemann-Hilbert", Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk (en ruso), 45 (2): 3–47, doi : 10.1070 / RM1990v045n02ABEH002350 , ISSN 0042-1316 , MR 1069347
- Plemelj, Josip (1964), Radok., JRM (ed.), Problemas en el sentido de Riemann y Klein , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 16 , Nueva York-Londres-Sydney: Interscience Publishers John Wiley & Sons Inc. , MR 0174815
- Bolibrukh, AA (1992), "Condiciones suficientes para la resolución positiva del problema de Riemann-Hilbert", Matematicheskie Zametki (en ruso): 9-19, 156 (traducción en Math. Notes 51 (1-2) (1992) págs. 110-117), doi : 10.1007 / BF02102113 , MR 1165460
- Kostov, Vladimir Petrov (1992), "Sistemas lineales fucsianos en y el problema de Riemann-Hilbert ", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 315 (2): 143-148, MR 1197226
- Schlesinger, L. (1895), Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen vol. 2, parte 2, núm. 366
- Katz, NM (1976), "An Overview of Deligne's work on Hilbert's Twenty-First Problem", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics , 28
enlaces externos
- Sobre el problema de Riemann-Hilbert ( copia de archive.org [2] )