La paradoja de Hilbert del Grand Hotel ( coloquial : Infinite Hotel Paradox o Hilbert's Hotel ) es un experimento mental que ilustra una propiedad contraintuitiva de los conjuntos infinitos. Está demostrado que un hotel totalmente ocupado con infinitas habitaciones aún puede acomodar huéspedes adicionales, incluso infinitamente muchos de ellos, y este proceso puede repetirse infinitamente a menudo. La idea fue introducida por David Hilbert en una conferencia de 1924 "Über das Unendliche", reimpresa en ( Hilbert 2013 , p.730), y se popularizó a través del libro One Two Three ... Infinity de George Gamow de 1947 . [1][2]
La paradoja
Considere un hotel hipotético con un número infinito de habitaciones, todas las cuales están ocupadas. Uno podría tener la tentación de pensar que el hotel no podría acomodar a ningún huésped recién llegado, como sería el caso con un número finito de habitaciones, donde se aplicaría el principio de casillero .
Numerosos invitados nuevos
Suponga que llega un nuevo huésped y desea alojarse en el hotel. Podemos (simultáneamente) mover al huésped actualmente en la habitación 1 a la habitación 2, al huésped actualmente en la habitación 2 a la habitación 3, y así sucesivamente, moviendo a cada huésped de su habitación actual n a la habitación n +1. Después de esto, la habitación 1 está vacía y el nuevo huésped puede trasladarse a esa habitación. Al repetir este procedimiento, es posible dejar espacio para cualquier número finito de nuevos huéspedes.
Infinidad de nuevos huéspedes
También es posible acomodar un número infinito de huéspedes nuevos: simplemente mueva a la persona que ocupa la habitación 1 a la habitación 2, al huésped que ocupa la habitación 2 a la habitación 4 y, en general, al huésped que ocupa la habitación n a la habitación 2 n (2 veces n ), y todas las habitaciones impares (que son infinitas contables) serán gratuitas para los nuevos huéspedes.
Infinidad de entrenadores con infinitos invitados cada uno
Es posible acomodar un número infinito de vagones de pasajeros contablemente infinitos cada uno, mediante varios métodos diferentes. La mayoría de los métodos dependen de que los asientos de los entrenadores ya estén numerados (o utilicen el axioma de elección contable ). En general , se puede utilizar cualquier función de emparejamiento para resolver este problema. Para cada uno de estos métodos, considere que el número de asiento de un pasajero en un autobús es, y su número de entrenador para ser y los numeros y luego se introducen en los dos argumentos de la función de emparejamiento .
Método de los poderes primarios
Vacíe las habitaciones impares enviando al huésped a la habitación a la habitación , luego coloque la carga del primer autocar en las habitaciones , la carga del segundo autocar en habitaciones ; para el número de entrenador usamos las habitaciones dónde es el el número primo impar . Esta solución deja algunas habitaciones vacías (que pueden ser útiles o no para el hotel); específicamente, todos los números impares que no sean potencias primos , como 15 u 847, ya no estarán ocupados. (Entonces, estrictamente hablando, esto muestra que el número de llegadas es menor o igual que el número de vacantes creadas. Es más fácil mostrar, por un medio independiente, que el número de llegadas también es mayor o igual que el número de vacantes, y por lo tanto que son iguales , que modificar el algoritmo para un ajuste exacto.) (El algoritmo funciona igualmente bien si uno intercambia y , pero cualquiera que sea la elección, debe aplicarse uniformemente en todo.)
Método de factorización prima
Puedes poner a cada persona de un determinado asiento y entrenador en la habitación (suponiendo c = 0 para las personas que ya están en el hotel, 1 para el primer autocar, etc. ...). Debido a que cada número tiene una factorización prima única , es fácil ver que todas las personas tendrán una habitación, mientras que dos personas no terminarán en la misma habitación. Por ejemplo, la persona en la habitación 2592 () estaba sentado en el cuarto vagón, en el quinto asiento. Al igual que el método de los poderes primarios, esta solución deja algunas habitaciones vacías.
Este método también se puede expandir fácilmente para noches infinitas, entradas infinitas, etc. ... ( )
Método de entrelazado
Para cada pasajero, compare las longitudes de y como está escrito en cualquier sistema numérico posicional , como decimal . (Trate a cada residente del hotel como si estuviera en el entrenador # 0). Si cualquiera de los números es más corto, agregue ceros iniciales hasta que ambos valores tengan el mismo número de dígitos. Intercale los dígitos para producir un número de habitación: sus dígitos serán [primer dígito del número de autobús] - [primer dígito del número de asiento] - [segundo dígito del número de autobús] - [segundo dígito del número de asiento] -etc. El huésped del hotel (entrenador n. ° 0) en la habitación número 1729 se traslada a la habitación 01070209 (es decir, la habitación 1,070,209). El pasajero en el asiento 1234 del autocar 789 va a la habitación 01728394 (es decir, la habitación 1.728.394).
A diferencia de la solución de energía principal, esta llena el hotel por completo y podemos reconstruir el asiento y el entrenador originales de un huésped invirtiendo el proceso de intercalado. Primero agregue un cero a la izquierda si la habitación tiene un número impar de dígitos. Luego, desentrelaza el número en dos números: el número del autobús consta de los dígitos impares y el número del asiento son los pares. Por supuesto, la codificación original es arbitraria y las funciones de los dos números se pueden invertir (asiento impar y entrenador par), siempre que se aplique de forma coherente.
Método del número triangular
Los que ya se encuentren en el hotel serán trasladados a la habitación. , o el th número triangular . Aquellos en un entrenador estarán en la habitación, o el número triangular más . De esta forma todas las habitaciones serán ocupadas por un solo huésped.
Esta función de emparejamiento se puede demostrar visualmente al estructurar el hotel como una pirámide infinitamente alta de una habitación de profundidad . La fila superior de la pirámide es una habitación individual: habitación 1; su segunda fila son las habitaciones 2 y 3; y así. La columna formada por el conjunto de habitaciones de la derecha corresponderá a los números triangulares. Una vez que se llenan (por los ocupantes redistribuidos del hotel), las habitaciones vacías restantes forman la forma de una pirámide exactamente idéntica a la forma original. Por tanto, el proceso se puede repetir para cada conjunto infinito. Hacer esto uno a la vez para cada entrenador requeriría un número infinito de pasos, pero al usar las fórmulas anteriores, un huésped puede determinar cuál será su habitación una vez que se haya alcanzado a su entrenador en el proceso, y simplemente puede ir allí. inmediatamente.
Método de enumeración arbitrario
Dejar . es contable desde es contable, por lo que podemos enumerar sus elementos . Ahora si, asigne el el invitado de la el entrenador al a habitación (considere a los huéspedes que ya se encuentran en el hotel como huéspedes del el entrenador). Así tenemos una función que asigna a cada persona una habitación; además, esta asignación no omite ninguna habitación.
Más capas de infinito
Supongamos que el hotel está al lado de un océano y llega un número infinito de transbordadores de automóviles , cada uno con un número infinito de autocares, cada uno con un número infinito de pasajeros. Esta es una situación que involucra tres "niveles" de infinito , y se puede resolver ampliando cualquiera de las soluciones anteriores.
El método de factorización prima se puede aplicar agregando un nuevo número primo por cada capa adicional de infinito ( , con El ferry).
La solución de potencia principal se puede aplicar con una exponenciación adicional de los números primos, lo que da como resultado números de habitación muy grandes incluso con entradas pequeñas. Por ejemplo, el pasajero en el segundo asiento del tercer autobús en el segundo ferry (dirección 2-3-2) aumentaría el segundo primo impar (5) a 49, que es el resultado de que el tercer primo impar (7) sea elevado a la potencia de su asiento número (2). Este número de habitación tendría más de treinta dígitos decimales.
El método de entrelazado se puede utilizar con tres "hebras" entrelazadas en lugar de dos. El pasajero con la dirección 2-3-2 iría a la habitación 232, mientras que el que tenía la dirección 4935-198-82217 iría a la habitación # 008,402,912,391,587 (los ceros iniciales se pueden quitar).
Anticipando la posibilidad de cualquier número de capas de huéspedes infinitos, el hotel puede desear asignar habitaciones de manera que ningún huésped tenga que moverse, sin importar cuántos huéspedes lleguen después. Una solución es convertir la dirección de cada llegada en un número binario en el que se utilizan unos como separadores al comienzo de cada capa, mientras que un número dentro de una capa determinada (como el número de entrenador de un invitado) se representa con esa cantidad de ceros. Así, un huésped con la dirección previa 2-5-1-3-1 (cinco capas infinitas) iría a la habitación 10010000010100010 (decimal 295458).
Como paso adicional en este proceso, se puede eliminar un cero de cada sección del número; en este ejemplo, la nueva habitación del huésped es 101000011001 (decimal 2585). Esto asegura que cada habitación pueda ser ocupada por un huésped hipotético. Si no llegan grupos infinitos de invitados, solo se ocuparán las habitaciones que sean una potencia de dos.
Capas infinitas de anidación
Aunque se puede encontrar una habitación para cualquier número finito de infinitos anidados de personas, no siempre ocurre lo mismo para un número infinito de capas, incluso si existe un número finito de elementos en cada capa.
Análisis
La paradoja de Hilbert es una paradoja verídica : conduce a un resultado contraintuitivo que es demostrablemente cierto. Las declaraciones "hay un huésped en cada habitación" y "no se pueden alojar más huéspedes" no son equivalentes cuando hay infinitas habitaciones.
Inicialmente, este estado de cosas puede parecer contrario a la intuición. Las propiedades de las "colecciones infinitas de cosas" son bastante diferentes de las de las "colecciones finitas de cosas". La paradoja del Grand Hotel de Hilbert puede entenderse utilizando la teoría de Cantor de los números transfinitos . Por lo tanto, mientras que en un hotel ordinario (finito) con más de una habitación, el número de habitaciones impares es obviamente menor que el número total de habitaciones. Sin embargo, en el acertadamente llamado Grand Hotel de Hilbert, la cantidad de habitaciones impares no es menor que el "número" total de habitaciones. En términos matemáticos, la cardinalidad del subconjunto que contiene las habitaciones impares es la misma que la cardinalidad del conjunto de todas las habitaciones. De hecho, los conjuntos infinitos se caracterizan como conjuntos que tienen subconjuntos propios de la misma cardinalidad. Para conjuntos contables (conjuntos con la misma cardinalidad que los números naturales ) esta cardinalidad es. [3]
Reformulado, para cualquier conjunto infinito numerable, existe una función biyectiva que mapea el conjunto infinito numerable al conjunto de números naturales, incluso si el conjunto infinito numerable contiene los números naturales. Por ejemplo, el conjunto de números racionales (aquellos números que pueden escribirse como un cociente de enteros) contiene los números naturales como un subconjunto, pero no es mayor que el conjunto de números naturales ya que los racionales son contables: hay una biyección de lo natural a lo racional.
Referencias en ficción
- BBC Learning Zone proyectó repetidamente un docudrama educativo único de 1996 que se desarrolla en el hotel Hilbert , visto a través de los ojos de una joven invitada Fiona Knight, su nombre es un juego de palabras finito. El programa fue diseñado para educar a los espectadores sobre el concepto de infinito. [4]
- La novela White Light del matemático / escritor de ciencia ficción Rudy Rucker incluye un hotel basado en la paradoja de Hilbert, y donde el protagonista de la historia se encuentra con Georg Cantor .
- La novela de ciencia ficción de Stephen Baxter , Trascendente, tiene una breve discusión sobre la naturaleza del infinito, con una explicación basada en la paradoja, modificada para usar soldados de nave estelar en lugar de hoteles.
- El cuento de Geoffrey A. Landis , ganador del premio Nebula, " Ondas en el mar de Dirac ", utiliza el hotel Hilbert como una explicación de por qué un mar de Dirac infinitamente lleno todavía puede aceptar partículas.
- En la novela Feeling for Snow de la señorita Smilla de Peter Høeg , la heroína titular refleja que es admirable que el gerente del hotel y los huéspedes se tomen todas esas molestias para que el recién llegado pueda tener su propia habitación y algo de privacidad.
- En la novela para niños de Ivar Ekeland , El gato en el país de los números , un "Sr. Hilbert" y su esposa dirigen un hotel infinito para todos los números enteros. La historia avanza a través del método triangular para los racionales.
- En la novela de Will Wiles, The Way Inn , sobre un motel infinitamente grande, el nombre del villano es Hilbert.
- En la novela de Reginald Hill "La casa del extraño", el personaje Sam se refiere a la paradoja del hotel Hilbert.
- El cuento de Naum Ya. Vilenkin The Extraordinary Hotel (a menudo erróneamente atribuido a Stanislaw Lem ) muestra la forma en que Hilbert's Grand Hotel puede ser reorganizado cuando llegan infinitos nuevos anfitriones.
- John Roderick y Ken Jennings hablaron sobre el hotel en su podcast Omnibus en el episodio The Hilbert Hotel Entry .
- La saga de cómics The Tempest de la serie League of Extraordinary Gentlemen de Alan Moore y Kevin O'Neill muestra a un villano llamado Infinity. En la historia se sugiere que el villano va al hotel basándose en la paradoja de Hilbert. También se menciona a Georg Cantor .
Ver también
- Lista de paradojas
- Paradoja de Banach-Tarski
- La paradoja de Galileo
- Paradojas de la teoría de conjuntos
- Principio del casillero
Referencias
- ^ Kragh, Helge (2014). "La verdadera (?) Historia del hotel infinito de Hilbert". arXiv : 1403.0059 [ physics.hist-ph ].
- ^ Gamow, George (1947). Uno, dos, tres ... Infinito: hechos y especulaciones de la ciencia . Nueva York: Viking Press. pag. 17.
- ^ Rucker, Rudy (1984) [1982]. Infinito y Mente. La ciencia y la filosofía del infinito . Paladín. págs. 73–78. ISBN 0-586-08465-7.
- ^ https://www.imdb.com/title/tt0443537/
- Hilbert, David (2013), Ewald, William; Sieg, Wilfried (eds.), Conferencias de David Hilbert sobre los fundamentos de la aritmética y la lógica 1917-1933 , Heidelberg: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-540-69444-1 , ISBN 978-3-540-20578-4
enlaces externos
- Hotel Hilbert Infinite . M. Hazewinkel. Enciclopedia de Matemáticas , Springer. Consultado el 25 de mayo de 2007.
- Nancy Casey, ¡ Bienvenida al Hotel Infinity! - La paradoja contada como una narración humorística, con el propietario de un hotel y un contratista de construcción basado en los matemáticos del siglo XIX en disputa, Georg Cantor y Leopold Kronecker.
- Steven Strogatz, The Hilbert Hotel , NY Times, 9 de mayo de 2010
- El hotel infinito de Hilbert , h2g2
- The Hilbert Hotel - Presentación de YouTube
- "Más allá de lo finito"
- ver la canción en la p. 704 del American Mathematical Monthly de octubre de 2006 o p. 177 de la Revista de Matemáticas y Artes de diciembre de 2011
- La paradoja del hotel infinito - Jeff Dekofsky - Lecciones TED-Ed