primer poder

En matemáticas , una potencia prima es una potencia entera positiva de un solo número primo . Por ejemplo: 7 = 7 ¹ , 9 = 3 ² y 64 = 2 ⁶ son potencias primos, mientras que 6 = 2 × 3 , 12 = 2 ² × 3 y 36 = 6 ² = 2 ² × 3 ² no lo son. (El número 1 no se cuenta como potencia primaria).

La secuencia de poderes primos comienza 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, ... (secuencia A246655 en la OEIS ).

Los poderes primos son aquellos enteros positivos que son divisibles entre exactamente un número primo; Los poderes primos también se denominan números primarios , como en la descomposición primaria .

Propiedades

Propiedades algebraicas

Los poderes primos son los poderes de los números primos. Cada potencia principal (excepto las potencias de 2) tiene una raíz primitiva ; por tanto, el grupo multiplicativo de números enteros módulo p ⁿ (es decir, el grupo de unidades del anillo Z / p ⁿ Z ) es cíclico .

El número de elementos de un campo finito es siempre un poder primo y, a la inversa, cada poder primo ocurre como el número de elementos en algún campo finito (que es único hasta el isomorfismo ).

Propiedades combinatorias

Una propiedad de los poderes primos que se utiliza con frecuencia en la teoría analítica de números es que el conjunto de poderes primos que no son primos es un conjunto pequeño en el sentido de que la suma infinita de sus recíprocos converge , aunque los primos son un conjunto grande.

Propiedades de divisibilidad

La función totient ( φ ) y las funciones sigma ( σ ₀ ) y ( σ ₁ ) de una potencia prima se calculan mediante las fórmulas:

{\ Displaystyle \ varphi (p ^ {n}) = p ^ {n-1} \ varphi (p) = p ^ {n-1} (p-1) = p ^ {n} -p ^ {n- 1} = p ^ {n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right),}

{\ Displaystyle \ sigma _ {0} (p ^ {n}) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} p ^ {0 \ cdot j} = \ sum _ {j = 0} ^ {n} 1 = n + 1,}

{\ Displaystyle \ sigma _ {1} (p ^ {n}) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} p ^ {1 \ cdot j} = \ sum _ {j = 0} ^ {n} p ^ {j} = {\ frac {p ^ {n + 1} -1} {p-1}}.}

Todos los poderes primos son números deficientes . Un poder primo p ⁿ es un n - casi primo . No se sabe si una potencia prima p ⁿ puede ser un número amistoso . Si existe tal número, entonces p ⁿ debe ser mayor que 10 ¹⁵⁰⁰ y n debe ser mayor que 1400.

Medios populares

En la película Cube de 1997 , los poderes principales juegan un papel clave, actuando como indicadores de peligros letales en una estructura de cubo similar a un laberinto.

Ver también

Referencias

Teoría elemental de números . Jones, Gareth A. y Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.