Los módulos C * de Hilbert son objetos matemáticos que generalizan la noción de un espacio de Hilbert (que en sí mismo es una generalización del espacio euclidiano ), en el sentido de que dotan a un espacio lineal con un " producto interno " que toma valores en un álgebra C * . Hilbert C * -modules se introdujeron primero en el trabajo de Irving Kaplansky en 1953 , que se desarrolló la teoría para conmutativos , álgebra unital (aunque Kaplansky observó que la suposición de un elemento de unidad no era "vital"). [1]En la década de 1970, William Lindall Paschke [2] y Marc Rieffel extendieron la teoría a álgebras C * no conmutativas de forma independiente , este último en un artículo que utilizó módulos C * de Hilbert para construir una teoría de representaciones inducidas de C * - álgebras. [3] Los módulos C * de Hilbert son cruciales para la formulación de la teoría KK de Kasparov , [4] y proporcionan el marco adecuado para extender la noción de equivalencia de Morita a las álgebras C *. [5] Pueden verse como la generalización de paquetes vectoriales a álgebras C * no conmutativas y, como tales, desempeñan un papel importante en la geometría no conmutativa , especialmente enC * -teoría cuántica de grupos algebraicos , [6] [7] y C * -algebras grupoides .
Sea A un C * -álgebra (no se asume que sea conmutativa o unital), su involución denotada por *. Un interior-producto A -módulo (o pre-Hilbert A -módulo ) es un complejo espacio lineal E equipado con un derecho compatible A -module estructura, junto con un mapa
Se dice que la terminación de la norma de E , todavía denotada por E , es un módulo A de Hilbert o un módulo C * de Hilbert sobre el álgebra A de C * . La desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que el producto interno es conjuntamente continuo en norma y, por lo tanto, puede extenderse hasta su finalización.
De manera similar, si { e λ } es una unidad aproximada para A (una red de elementos autoadjuntos de A para los cuales ae λ y e λ a tienden a a para cada a en A ), entonces para x en E
entonces el cierre de < E , E > es un ideal a dos caras en una . Los ideales de dos caras son C * -subálgebras y, por lo tanto, poseen unidades aproximadas. Se puede comprobar que E < E , E > es denso en E . En el caso de que < E , E > sea denso en A , se dice que E está lleno . Por lo general, esto no se sostiene.
Un espacio H de Hilbert complejo es un módulo C de Hilbert bajo su producto interno, siendo los números complejos un álgebra C * con una involución dada por conjugación compleja .