En matemáticas , KK -teoría es una generalización común tanto de K-homología y K-teoría como aditivo funtor bivariante en separable C * -álgebras . Esta noción fue introducida por el matemático ruso Gennadi Kasparov [1] en 1980.
Fue influenciado por el concepto de Atiyah de módulos de Fredholm para el teorema del índice de Atiyah-Singer , y la clasificación de extensiones de C * -algebras por Lawrence G. Brown , Ronald G. Douglas y Peter Arthur Fillmore en 1977. [2] A su vez , ha tenido un gran éxito en el formalismo algebraico de operadores hacia la teoría de índices y la clasificación de álgebras C * nucleares , ya que fue la clave para las soluciones de muchos problemas en la teoría K de operadores, como, por ejemplo, el mero cálculo de los grupos K. Además, fue esencial en el desarrollo de la conjetura de Baum-Connesy juega un papel crucial en la topología no conmutativa .
La teoría KK fue seguida por una serie de construcciones bifunctoras similares, como la teoría E y la teoría cíclica periódica bivariante , la mayoría de las cuales tienen más gustos de teoría de categorías , o se refieren a otra clase de álgebras en lugar de la separable C * - álgebras, o incorporando acciones grupales .
Definición
La siguiente definición es bastante cercana a la dada originalmente por Kasparov. Esta es la forma en la que surgen la mayoría de los elementos KK en las aplicaciones.
Sean A y B separables C * -álgebras, donde también se supone que B es σ-unital. El conjunto de ciclos es el conjunto de triples ( H , ρ, F ), donde H es un módulo de Hilbert graduado generado contablemente sobre B , ρ es una representación * de A en H como operadores delimitados pares que conmutan con B , y F es un operador acotado en H de grado 1 que a su vez conmuta con B . Están obligados a cumplir la condición de que
para a en A son todos B -operadores compactos. Se dice que un ciclo es degenerado si las tres expresiones son 0 para todo a .
Se dice que dos ciclos son homólogos, u homotópicos, si hay un ciclo entre A e IB , donde IB denota el C * -álgebra de funciones continuas de [0,1] a B , de modo que hay un operador unitario par de el extremo 0 de la homotopía al primer ciclo, y un operador unitario desde el extremo 1 de la homotopía al segundo ciclo.
El grupo KK KK (A, B) entre A y B se define entonces como el conjunto de ciclos módulo homotopía. Se convierte en un grupo abeliano bajo la operación de suma directa de bimódulos como la adición, y la clase de los módulos degenerados como su elemento neutral.
Hay varias definiciones de la teoría KK, pero equivalentes, en particular la debida a Joachim Cuntz [3], que elimina el bimódulo y el operador F de 'Fredholm' de la imagen y pone el acento por completo en el homomorfismo ρ. Más precisamente, se puede definir como el conjunto de clases de homotopía.
- ,
de -homomorphisms * desde la clasificación álgebra qA de cuasi-homomorfismos a la C * -algebra de operadores compactos de un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita tensored con B . Aquí, qA se define como el núcleo del mapa del producto libre algebraico C * A * A de A consigo mismo a A definido por la identidad de ambos factores.
Propiedades
Cuando se toma la C * -algebra C de los números complejos como el primer argumento de KK como en KK ( C , B ) de este grupo aditivo es naturalmente isomorfo al K 0 -Grupo K 0 ( B ) del segundo argumento B . En el punto de vista Cuntz, un K 0 -class de B no es más que una clase de homotopía de -homomorphisms * a partir de los números complejos a la estabilización de B . De manera similar, cuando se toma el álgebra C 0 ( R ) de las funciones continuas en la línea real que decae en el infinito como primer argumento, el grupo obtenido KK ( C 0 ( R ), B ) es naturalmente isomorfo a K 1 ( B ).
Una propiedad importante de la teoría KK es el llamado producto de Kasparov , o el producto de composición,
- ,
que es bilineal con respecto a las estructuras de los grupos aditivos. En particular, cada elemento de KK ( A , B ) da un homomorfismo de K * ( A ) → K * ( B ) y otro homomorfismo K * ( B ) → K * ( A ).
El producto se puede definir mucho más fácilmente en la imagen de Cuntz dado que existen mapas naturales de QA a A , y de B a K ( H ) ⊗ B que inducen KK -equivalencias.
El producto de composición da una nueva categoría. , cuyos objetos están dados por las C * -álgebras separables, mientras que los morfismos entre ellos están dados por elementos de los correspondientes grupos KK. Además, cualquier * -homomorfismo de A en B induce un elemento de KK ( A , B ) y esta correspondencia da un funtor de la categoría original de las separables C * -álgebras en. Los automorfismos aproximadamente internos de las álgebras se convierten en morfismos de identidad en.
Este functor es universal entre los functores aditivos estables, invariante de homotopía exacta y dividida en la categoría de las álgebras C * separables . Cualquiera de estas teorías satisface la periodicidad de Bott en el sentido apropiado ya que lo hace.
El producto de Kasparov se puede generalizar aún más a la siguiente forma:
Contiene como casos especiales no sólo el producto de copa de la teoría K , sino también los productos de tapa , cruz e inclinación de la teoría K y el producto de las extensiones.
Notas
- ^ G. Kasparov. El operador K-functor y extensiones de C * -álgebras. Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Estera. 44 (1980), 571-636
- ^ Brown, LG; Douglas, RG; Fillmore, PA, "Extensiones de C * -álgebras y K-homología", Annals of Mathematics (2) 105 (1977), no. 2, 265–324. Señor 0458196
- ^ J. Cuntz. Una nueva mirada a la teoría KK. K-Teoría 1 (1987), 31-51
Referencias
- B. Blackadar, Álgebras de operadores: teoría de las álgebras C * y álgebras de Von Neumann , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas 122 , Springer (2005)
- A. Connes, Geometría no conmutativa , Academic Press (1994)
enlaces externos
- Teoría KK en nLab
- Teoría electrónica en nLab