Homomorfismo

Mapa de conservación de estructuras entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo

No confundir con holomorfismo o homeomorfismo .

En álgebra , un homomorfismo es un mapa que conserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (como dos grupos , dos anillos o dos espacios vectoriales ). La palabra homomorfismo proviene del idioma griego antiguo : ὁμός ( homos ) que significa "igual" y μορφή ( morphe ) que significa "forma" o "forma". Sin embargo, la palabra aparentemente se introdujo en las matemáticas debido a una (mala) traducción del alemán ähnlich que significa "similar" a ὁμός que significa "igual".^[1] El término "homomorfismo" apareció ya en 1892, cuando se atribuyó al matemático alemán Felix Klein (1849-1925). ^[2]

Los homomorfismos de espacios vectoriales también se denominan mapas lineales y su estudio es objeto del álgebra lineal .

El concepto de homomorfismo se ha generalizado, bajo el nombre de morfismo , a muchas otras estructuras que no tienen un conjunto subyacente o no son algebraicas. Esta generalización es el punto de partida de la teoría de categorías .

Un homomorfismo también puede ser un isomorfismo , un endomorfismo , un automorfismo , etc. (ver más abajo). Cada uno de ellos puede definirse de una manera que puede generalizarse a cualquier clase de morfismos.

Definición

Un homomorfismo es un mapa entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (es decir, del mismo nombre), que conserva las operaciones de las estructuras. Esto significa un mapa entre dos conjuntos , equipado con la misma estructura de modo que, si es una operación de la estructura (se supone aquí, para simplificar, que es una operación binaria ), entonces${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

para cada par , de elementos de . ^{[nota 1]} Se dice a menudo que conserva la operación o es compatible con la operación.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$

Formalmente, un mapa conserva una operación de aridad k , definida en ambos y si ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$

para todos los elementos en .${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$${\displaystyle A}$

Las operaciones que deben ser preservadas por un homomorfismo incluyen operaciones arias 0 , es decir, las constantes. En particular, cuando el tipo de estructura requiere un elemento de identidad , el elemento de identidad de la primera estructura debe mapearse con el elemento de identidad correspondiente de la segunda estructura.

Por ejemplo:

• Un homomorfismo de semigrupo es un mapa entre semigrupos que conserva la operación de semigrupo.
• Un homomorfismo monoide es un mapa entre monoides que conserva la operación monoide y asigna el elemento de identidad del primer monoide al del segundo monoide (el elemento de identidad es una operación aria 0 ).
• Un homomorfismo de grupo es un mapa entre grupos que conserva la operación de grupo. Esto implica que el homomorfismo de grupo mapea el elemento de identidad del primer grupo con el elemento de identidad del segundo grupo, y mapea el inverso de un elemento del primer grupo con el inverso de la imagen de este elemento. Por tanto, un homomorfismo de semigrupo entre grupos es necesariamente un homomorfismo de grupo.
• Un homomorfismo de anillo es un mapa entre anillos que conserva la adición del anillo, la multiplicación del anillo y la identidad multiplicativa . La preservación de la identidad multiplicativa depende de la definición de anillo en uso. Si no se conserva la identidad multiplicativa, se tiene un homomorfismo rng .
• Un mapa lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales ; es decir, un homomorfismo de grupo entre espacios vectoriales que conserva la estructura del grupo abeliano y la multiplicación escalar .
• Un homomorfismo de módulo , también llamado mapa lineal entre módulos , se define de manera similar.
• Un homomorfismo de álgebra es un mapa que conserva las operaciones de álgebra .

Una estructura algebraica puede tener más de una operación y se requiere un homomorfismo para preservar cada operación. Por lo tanto, un mapa que conserva solo algunas de las operaciones no es un homomorfismo de la estructura, sino solo un homomorfismo de la subestructura obtenido al considerar solo las operaciones conservadas. Por ejemplo, un mapa entre monoides que conserva la operación monoide y no el elemento de identidad, no es un homomorfismo monoide, sino solo un homomorfismo de semigrupo.

No es necesario que la notación de las operaciones sea la misma en el origen y el destino de un homomorfismo. Por ejemplo, los números reales forman un grupo para la suma y los números reales positivos forman un grupo para la multiplicación. La función exponencial

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

satisface

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$

y es, por tanto, un homomorfismo entre estos dos grupos. Es incluso un isomorfismo (ver más abajo), ya que su función inversa , el logaritmo natural , satisface

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$

y también es un homomorfismo de grupo.

Ejemplos de

Monoid homomorfismo de la monoide ( N , +, 0) a la monoide ( N , ×, 1) , definido por . Es inyectivo , pero no sobreyectivo .${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=2^{x}}$

Los números reales son un anillo , que tiene tanto sumas como multiplicaciones. El conjunto de todas las matrices 2 × 2 también es un anillo, bajo suma de matrices y multiplicación de matrices . Si definimos una función entre estos anillos de la siguiente manera:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

donde r es un número real, entonces f es un homomorfismo de anillos, ya que f conserva ambas sumas:

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

y multiplicación:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

Para otro ejemplo, los números complejos distintos de cero forman un grupo bajo la operación de multiplicación, al igual que los números reales distintos de cero. (El cero debe excluirse de ambos grupos, ya que no tiene un inverso multiplicativo , que se requiere para los elementos de un grupo.) Defina una función de los números complejos distintos de cero a los números reales distintos de cero mediante${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=|z|.}$

Es decir, es el valor absoluto (o módulo) del número complejo . Entonces es un homomorfismo de grupos, ya que conserva la multiplicación:${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).}$

Tenga en cuenta que f no puede extenderse a un homomorfismo de anillos (desde los números complejos hasta los números reales), ya que no conserva la suma:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

Como otro ejemplo, el diagrama muestra un homomorfismo monoide del monoide al monoide . Debido a los diferentes nombres de las operaciones correspondientes, las propiedades de conservación de la estructura satisfechas por ascienden a y .${\displaystyle f}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$${\displaystyle f(0)=1}$

Un álgebra composición sobre un campo tiene una forma cuadrática , llamada una norma , que es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de al grupo multiplicativo de .${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle N:A\to F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$

Homomorfismos especiales

Varios tipos de homomorfismos tienen un nombre específico, que también se define para morfismos generales .

Isomorfismo

Un isomorfismo entre estructuras algebraicas del mismo tipo se define comúnmente como un homomorfismo biyectivo . ^{[3] : 134  [4] : 28}

En el contexto más general de la teoría de categorías , un isomorfismo se define como un morfismo que tiene una inversa que también es un morfismo. En el caso específico de las estructuras algebraicas, las dos definiciones son equivalentes, aunque pueden diferir para las estructuras no algebraicas, que tienen un conjunto subyacente.

Más precisamente, si

${\displaystyle f:A\to B}$

es un (homo) morfismo, tiene inversa si existe un homomorfismo

${\displaystyle g:B\to A}$

tal que

${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Si y tiene conjuntos subyacentes y tiene una inversa , entonces es biyectiva. De hecho, es inyectivo , como implica , y es sobreyectivo , como, para cualquier en , uno tiene , y es la imagen de un elemento de .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x=f(g(x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

Por el contrario, si es un homomorfismo biyectivo entre estructuras algebraicas, sea ​​el mapa tal que es el elemento único de tal que . Uno tiene y solo queda mostrar que g es un homomorfismo. Si es una operación binaria de la estructura, para cada par , de elementos de , uno tiene${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g:B\to A}$${\displaystyle g(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ and }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}$${\displaystyle *}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$

y por tanto es compatible con Como la demostración es similar para cualquier aridad , esto muestra que es un homomorfismo.${\displaystyle g}$${\displaystyle *.}$${\displaystyle g}$

Esta prueba no funciona para estructuras no algebraicas. Por ejemplo, para los espacios topológicos , un morfismo es un mapa continuo y el inverso de un mapa continuo biyectivo no es necesariamente continuo. Un isomorfismo de espacios topológicos, llamado homeomorfismo o mapa bicontinuo , es así un mapa continuo biyectivo, cuya inversa también es continua.

Endomorfismo

Un endomorfismo es un homomorfismo cuyo dominio es igual al codominio o, más generalmente, un morfismo cuya fuente es igual al objetivo. ^{[3] : 135}

Los endomorfismos de una estructura algebraica o de un objeto de una categoría forman un monoide bajo composición.

Los endomorfismos de un espacio vectorial o de un módulo forman un anillo . En el caso de un espacio vectorial o un módulo libre de dimensión finita , la elección de una base induce un isomorfismo de anillo entre el anillo de endomorfismos y el anillo de matrices cuadradas de la misma dimensión.

Automorfismo

Un automorfismo es un endomorfismo que también es un isomorfismo. ^{[3] : 135}

Los automorfismos de una estructura algebraica o de un objeto de una categoría forman un grupo bajo composición, que se denomina grupo de automorfismos de la estructura.

Muchos grupos que han recibido un nombre son grupos de automorfismos de alguna estructura algebraica. Por ejemplo, el grupo lineal general es el grupo de automorfismo de un espacio vectorial de dimensión sobre un campo .${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Los grupos de campos de automorfismo fueron introducidos por Évariste Galois para estudiar las raíces de polinomios , y son la base de la teoría de Galois .

Monomorfismo

Para las estructuras algebraicas, los monomorfismos se definen comúnmente como homomorfismos inyectivos . ^{[3] : 134  [4] : 29}

En el contexto más general de la teoría de categorías , un monomorfismo se define como un morfismo que se deja cancelable . ^[5] Esto significa que un (homo) morfismo es un monomorfismo si, para cualquier par , de morfismos de cualquier otro objeto a , entonces implica .${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\displaystyle g=h}$

Estas dos definiciones de monomorfismo son equivalentes para todas las estructuras algebraicas comunes. Más precisamente, son equivalentes para campos , para los que todo homomorfismo es un monomorfismo, y para variedades de álgebra universal , es decir, estructuras algebraicas para las que se definen operaciones y axiomas (identidades) sin ninguna restricción (los campos no son una variedad, ya que el El inverso multiplicativo se define como una operación unaria o como una propiedad de la multiplicación, que en ambos casos se definen solo para elementos distintos de cero).

En particular, las dos definiciones de un monomorfismo son equivalentes para conjuntos , magmas , semigrupos , monoides , grupos , anillos , campos , espacios vectoriales y módulos .

Un monomorfismo dividido es un homomorfismo que tiene una inversa izquierda y, por lo tanto, es en sí misma una inversa derecha de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo es un monomorfismo dividido si existe un homomorfismo tal que un monomorfismo dividido es siempre un monomorfismo, para ambos significados de monomorfismo . Para conjuntos y espacios vectoriales, cada monomorfismo es un monomorfismo dividido, pero esta propiedad no es válida para las estructuras algebraicas más comunes.${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Prueba de la equivalencia de las dos definiciones de monomorfismos

Un homomorfismo inyectivo se deja cancelable : si uno tiene for every in , la fuente común de y . Si es inyectivo, entonces , y así . Esta demostración funciona no solo para estructuras algebraicas, sino también para cualquier categoría cuyos objetos son conjuntos y las flechas son mapas entre estos conjuntos. Por ejemplo, un mapa continuo inyectivo es un monomorfismo en la categoría de espacios topológicos .${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$${\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g(x)=h(x)}$${\displaystyle g=h}$ Para demostrar que, a la inversa, un homomorfismo cancelable a la izquierda es inyectivo, es útil considerar un objeto libre en${\displaystyle x}$ . Dada una variedad de estructuras algebraicas un objeto libre en es un par que consiste en una estructura algebraica de esta variedad y un elemento de que satisface la siguiente propiedad universal : para cada estructura de la variedad, y cada elemento de , hay un homomorfismo único de tal manera que . Por ejemplo, para conjuntos, el objeto libre on es simplemente ; para semigrupos , el objeto libre en es${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:L\to S}$${\displaystyle f(x)=s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}$que, como un semigrupo, es isomorfo al semigrupo aditivo de los enteros positivos; para los monoides , el objeto libre en es el que, como monoide, es isomorfo al monoide aditivo de los enteros no negativos; para los grupos , el objeto libre en es el grupo cíclico infinito que, como grupo, es isomorfo al grupo aditivo de los enteros; para anillos , el objeto libre on } es el anillo polinomial para espacios vectoriales o módulos , el objeto libre on es el espacio vectorial o módulo libre que tiene como base.${\displaystyle x}$${\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x];}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ Si existe un objeto libre over , entonces todo homomorfismo cancelable a la izquierda es inyectivo${\displaystyle x}$ : sea ​​un homomorfismo cancelable a la izquierda y sean dos elementos de tal . Por definición del objeto libre , existen homomorfismos y de a tal que y . Como se tiene por la unicidad en la definición de propiedad universal. Como queda cancelable, uno tiene , y así . Por tanto, es inyectivo.${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle g(x)=a}$${\displaystyle h(x)=b}$${\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g=h}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle f}$ Existencia de un objeto libre para una variedad${\displaystyle x}$ (ver también Objeto libre § Existencia ): Para construir un objeto libre , considere el conjunto de fórmulas bien formadas construidas a partir de y las operaciones de la estructura. Dos de tales fórmulas se dicen equivalentes si se puede pasar de una a otra aplicando los axiomas ( identidades de la estructura). Esto define una relación de equivalencia , si las identidades no están sujetas a condiciones, es decir, si se trabaja con una variedad. Entonces las operaciones de la variedad están bien definidas en el conjunto de clases de equivalencia de${\displaystyle x}$${\displaystyle W}$${\displaystyle x}$${\displaystyle W}$para esta relación. Es sencillo mostrar que el objeto resultante es un objeto libre en .${\displaystyle W}$

Epimorfismo

En álgebra , los epimorfismos a menudo se definen como homomorfismos sobreyectivos . ^{[3] : 134  [4] : 43} Por otro lado, en la teoría de categorías , los epimorfismos se definen como morfismos cancelables a la derecha . ^[5] Esto significa que un (homo) morfismo es un epimorfismo si, para cualquier par , de morfismos de a cualquier otro objeto , la igualdad implica .${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$${\displaystyle g=h}$

Un homomorfismo sobreyectivo siempre se puede cancelar por la derecha, pero lo contrario no siempre es cierto para las estructuras algebraicas. Sin embargo, las dos definiciones de epimorfismo son equivalentes para conjuntos , espacios vectoriales , grupos abelianos , módulos (ver más abajo para una prueba) y grupos . ^[6] La importancia de estas estructuras en todas las matemáticas, y especialmente en el álgebra lineal y el álgebra homológica , puede explicar la coexistencia de dos definiciones no equivalentes.

Las estructuras algebraicas para las que existen epimorfismos no sobreyectivos incluyen semigrupos y anillos . El ejemplo más básico es la inclusión de números enteros en números racionales , que es un homomorfismo de anillos y de semigrupos multiplicativos. Para ambas estructuras es un monomorfismo y un epimorfismo no sobreyectivo, pero no un isomorfismo. ^{[5] [7]}

Una amplia generalización de este ejemplo es la localización de un anillo por un conjunto multiplicativo. Toda localización es un epimorfismo en anillo, que no es, en general, sobreyectivo. Como las localizaciones son fundamentales en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica , esto puede explicar por qué en estas áreas, generalmente se prefiere la definición de epimorfismos como homomorfismos cancelables a la derecha.

Un epimorfismo dividido es un homomorfismo que tiene una inversa derecha y, por lo tanto, es en sí misma una inversa izquierda de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo es un epimorfismo dividido si existe un homomorfismo tal que un epimorfismo dividido es siempre un epimorfismo, para ambos significados de epimorfismo . Para conjuntos y espacios vectoriales, cada epimorfismo es un epimorfismo dividido, pero esta propiedad no es válida para las estructuras algebraicas más comunes.${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}$

En resumen, uno tiene

${\displaystyle {\text{split epimorphism}}\implies {\text{epimorphism (surjective)}}\implies {\text{epimorphism (right cancelable)}};}$

la última implicación es una equivalencia para conjuntos, espacios vectoriales, módulos y grupos abelianos; la primera implicación es una equivalencia para conjuntos y espacios vectoriales.

Equivalencia de las dos definiciones de epimorfismo

Sea un homomorfismo. Queremos demostrar que si no es sobreyectiva, no es derecho cancelable.${\displaystyle f\colon A\to B}$ En el caso de conjuntos, sea ​​un elemento de que no pertenece a , y defina tal que es la función de identidad , y que para todos excepto que es cualquier otro elemento de . Es evidente que no está bien puede cancelar, como y${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle g,h\colon B\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h(x)=x}$${\displaystyle x\in B,}$${\displaystyle h(b)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g\neq h}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f.}$ En el caso de espacios vectoriales, grupos abelianos y módulos, la prueba se basa en la existencia de cokernels y en el hecho de que los mapas cero son homomorfismos: sea ​​el cokernel de , y sea ​​el mapa canónico, tal que . Sea el mapa cero. Si no es sobreyectiva, y por lo tanto (uno es un mapa cero, mientras que el otro no lo es). Por lo tanto, no es cancelable, ya que (ambos son el mapa cero desde hasta ).${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g\colon B\to C}$${\displaystyle g(f(A))=0}$${\displaystyle h\colon B\to C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C\neq 0}$${\displaystyle g\neq h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$

Núcleo

Artículo principal: Kernel (álgebra)

Cualquier homomorfismo define una relación de equivalencia en por si y solo si . La relación se llama núcleo de . Es una relación de congruencia en . A continuación, se puede dar al conjunto de cocientes una estructura del mismo tipo que , de forma natural, definiendo las operaciones del conjunto de cocientes por , para cada operación de . En ese caso, la imagen de en bajo el homomorfismo es necesariamente isomorfa a ; este hecho es uno de los teoremas del isomorfismo .${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$${\displaystyle \ast }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X/\!\sim }$

Cuando la estructura algebraica es un grupo para alguna operación, la clase de equivalencia del elemento identidad de esta operación es suficiente para caracterizar la relación de equivalencia. En este caso, el cociente por la relación de equivalencia se denota por (normalmente se lee como " mod "). También en este caso, es , en lugar de , lo que se llama núcleo de . Los núcleos de homomorfismos de un tipo dado de estructura algebraica están naturalmente equipados con alguna estructura. Este tipo de estructura de los núcleos es el mismo que la estructura considerada, en el caso de grupos abelianos , espacios vectoriales y módulos.${\displaystyle K}$${\displaystyle X/K}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f}$, pero es diferente y ha recibido un nombre específico en otros casos, como subgrupo normal para núcleos de homomorfismos de grupo e ideales para núcleos de homomorfismos de anillo (en el caso de anillos no conmutativos, los núcleos son los ideales bilaterales ).

Estructuras relacionales

En la teoría de modelos , la noción de estructura algebraica se generaliza a estructuras que involucran tanto operaciones como relaciones. Sea L una firma que consta de símbolos de función y relación, y A , B sean dos L- estructuras. Entonces, un homomorfismo de A a B es un mapeo h del dominio de A al dominio de B tal que

• h ( F ^A ( a ₁ ,…, a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) para cada símbolo de función n -aria F en L ,
• R ^A ( un ₁ , ..., un _n ) implica R ^B ( h ( un ₁ ), ..., h ( un _n )) para cada n ary símbolo de relación R en L .

En el caso especial con una sola relación binaria, obtenemos la noción de homomorfismo de grafo . Para una discusión detallada de los homomorfismos e isomorfismos relacionales, ver. ^[8]

Teoría del lenguaje formal

Los homomorfismos también se utilizan en el estudio de lenguajes formales ^[9] y, a menudo, se denominan brevemente morfismos. ^[10] Dados los alfabetos Σ ₁ y Σ ₂ , una función h  : Σ ₁ ^∗ → Σ ₂ ^∗ tal que h ( uv ) = h ( u ) h ( v ) para todo u y v en Σ ₁ ^∗ se llama homomorfismo en Σ ₁ ^∗ . ^{[nota 2]} Sih es un homomorfismo en Σ ₁ ^∗ y ε denota la cadena vacía, entonces h se llama un homomorfismo libre de ε cuando h ( x ) ≠ ε para todo x ≠ ε en Σ ₁ ^∗ .

El conjunto Σ ^∗ de palabras formadas a partir del alfabeto Σ puede considerarse como el monoide libre generado por Σ. Aquí la operación monoide es la concatenación y el elemento de identidad es la palabra vacía. Desde esta perspectiva, un homormorfismo lingüístico es precisamente un homomorfismo monoide. ^{[nota 3]}

Ver también

• Función continua
• Difeomorfismo
• Cifrado homomórfico
• Intercambio de secretos homomórficos : un protocolo de votación descentralizado simplista
• Morfismo

Notas

1. Como suele ser el caso, pero no siempre,aquí se utilizóel mismo símbolo para el funcionamiento de ambosy.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
2. El ∗ denota laoperación de la estrella de Kleene , mientras que Σ ^∗ denota el conjunto de palabras formadas a partir del alfabeto Σ, incluida la palabra vacía. La yuxtaposición de términos denota concatenación . Por ejemplo, h ( u ) h ( v ) denota la concatenación de h ( u ) con h ( v ).
3. Se nos asegura que un homomorfismo de lenguaje h asigna la palabra vacía ε a la palabra vacía. Dado que h ( ε ) = h ( εε ) = h ( ε ) h ( ε ), el número w de caracteres en h ( ε ) es igual al número 2 w de caracteres en h ( ε ) h ( ε ). Por tanto, w = 0 y h ( ε ) tiene una longitud nula.

Citas

1. Fricke, Robert (1897-1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen . BG Teubner. OCLC  29857037 .
2. Ver:
   • Ritter, Ernst (1892). "Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze" [Las formas automórficas únicas del género cero, una revisión y extensión del teorema de Poincaré]. Mathematische Annalen (en alemán). 41 : 1-82. doi : 10.1007 / BF01443449 . S2CID  121524108 . De la nota al pie de la p. 22 : "Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen:" holoedrisch, bezw. hemiedrisch usw isomorph "die Benennung" isomorph "auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von" Homomorphismus "sprechen, ..." (Siguiendo una sugerencia del profesor Klein, en lugar de las engorrosas y no siempre satisfactorias designaciones " o hemiédrico, etc. isomorfo ", limitaré la denominación" isomorfo "al caso de un isomorfismo holóédrico de dos grupos; en caso contrario, sin embargo, [hablaré] de un" homomorfismo ",…)
   • Fricke, Robert (1892). "Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen" [Sobre el carácter aritmético de las funciones triangulares pertenecientes a los puntos de ramificación (2,3,7) y ( 2,4,7)]. Mathematische Annalen (en alemán). 41 : 443–468. doi : 10.1007 / BF01443421 . S2CID  120022176 . Desde p. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe *) Beziehung der Gruppe Γ ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. N incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet." (Así, como se ve inmediatamente, una relación homomórfica del grupo Γ ₍₆₃₎ se basa en el grupo de sustituciones incongruentes módulo n con coeficientes enteros racionales del determinante 1.) De la nota al pie de la p. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung" meroedrischer Isomorphismus "die sinngemässere" Homomorphismus "." (Siguiendo un uso que ha sido introducido por el Sr. Klein durante sus conferencias más recientes, escribo en lugar de la designación anterior "isomorfismo meroédrico" el "homomorfismo" más lógico).
3. Birkhoff, Garrett (1967) [1940], Teoría de celosía , Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society, 25 (3ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1025-5, MR  0598630
4. Stanley N. Burris; HP Sankappanavar (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . ISBN  978-0-9880552-0-9.
5. Mac Lane, Saunders (1971). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 . Springer-Verlag . Ejercicio 4 de la sección I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl  0232.18001 .
6. Linderholm, CE (1970). Un epimorfismo grupal es sobreyectivo. The American Mathematical Monthly , 77 (2), 176-177.
7. Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Álgebra de Hopf: Introducción . Matemática pura y aplicada. 235 . Nueva York, NY: Marcel Dekker. pag. 363. ISBN 0824704819. Zbl  0962.16026 .
8. Sección 17.4, en Gunther Schmidt , 2010. Matemáticas relacionales . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7 
9. Seymour Ginsburg , propiedades teóricas algebraicas y autómatas de los lenguajes formales , Holanda Septentrional, 1975, ISBN 0-7204-2506-9 , 
10. T. Harju, J. Karhumӓki, Morfismos en el manual de lenguajes formales , Volumen I, editado por G. Rozenberg, A. Salomaa, Springer, 1997, ISBN 3-540-61486-9 . 

Referencias

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