El teorema de Hopf-Rinow es un conjunto de afirmaciones sobre la completitud geodésica de las variedades de Riemann . Lleva el nombre de Heinz Hopf y su alumno Willi Rinow , quien lo publicó en 1931. [1]
Declaración
Sea ( M , g ) una variedad Riemanniana conectada. Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:
- Los subconjuntos cerrados y acotados de M son compactos ;
- M es un espacio métrico completo ;
- M es geodésicamente completo; Es decir, para cada p en M , la función exponencial exp p se define en la totalidad del espacio tangente T p M .
Además, cualquiera de los anteriores implica que dados dos puntos p y q en M , existe una geodésica que minimiza la longitud que conecta estos dos puntos (las geodésicas son en general puntos críticos para la longitud funcional y pueden o no ser mínimos).
Variaciones y generalizaciones
- El teorema de Hopf-Rinow se generaliza a los espacios métricos de longitud de la siguiente manera:
- Si un espacio métrico de longitud ( M , d ) es completo y localmente compacto, entonces dos puntos cualesquiera en M pueden conectarse mediante una geodésica minimizadora , y cualquier conjunto cerrado acotado en M es compacto .
- El teorema no se sostiene en dimensiones infinitas: ( Atkin 1975 ) mostró que dos puntos en una variedad de Hilbert completa de dimensión infinita no necesitan estar conectados por una geodésica. [2]
- El teorema tampoco se generaliza a las variedades de Lorentz : el toro de Clifton-Pohl proporciona un ejemplo que es compacto pero no completo. [3]
Notas
- ^ Hopf, H .; Rinow, W. (1931). "Ueber den Begriff der vollständigen diferencialgeometrischen Fläche". Commentarii Mathematici Helvetici . 3 (1): 209–225. doi : 10.1007 / BF01601813 . hdl : 10338.dmlcz / 101427 .
- ^ Atkin, CJ (1975), "El teorema de Hopf-Rinow es falso en dimensiones infinitas" (PDF) , The Bulletin of the London Mathematical Society , 7 (3): 261-266, doi : 10.1112 / blms / 7.3.261 , Señor 0400283[ enlace muerto ] .
- ^ O'Neill, Barrett (1983), Geometría semi-riemanniana con aplicaciones a la relatividad , matemáticas puras y aplicadas, 103 , Academic Press, p. 193, ISBN 9780080570570.
Referencias
- Jürgen Jost (28 de julio de 2011). Geometría y Análisis Geométrico de Riemann (6ª Ed.) . Universitext. Springer Science & Business Media. doi : 10.1007 / 978-3-642-21298-7 . ISBN 978-3-642-21298-7.Consulte la sección 1.7 .
- Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Teorema de Hopf-Rinow" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press