En la teoría de sistemas dinámicos, se dice que un subconjunto Λ de una variedad suave M tiene una estructura hiperbólica con respecto a un mapa suave f si su paquete tangente puede dividirse en dos subconjuntos invariantes , uno de los cuales se contrae y el otro se expande bajo f , con respecto a alguna métrica de Riemann en M . Una definición análoga se aplica al caso de los flujos .
En el caso especial en el que toda la variedad M es hiperbólica, el mapa f se denomina difeomorfismo de Anosov . La dinámica de f en un conjunto hiperbólico, o dinámica hiperbólica , exhibe características de estabilidad estructural local y ha sido muy estudiada, cf. Un axioma .
Sea M una variedad compacta suave , f : M → M un difeomorfismo y Df : TM → TM el diferencial de f . Se dice que un subconjunto f -invariante Λ de M es hiperbólico , o que tiene una estructura hiperbólica , si la restricción a Λ del paquete tangente de M admite una división en una suma de Whitney de dos subconjuntos Df -invariantes, llamado paquete establey el paquete inestable y se denota E s y E u . Con respecto a alguna métrica de Riemann sobre M , la restricción de Df a E s debe ser una contracción y la restricción de Df a E u debe ser una expansión. Por tanto, existen constantes 0 < λ <1 yc > 0 tales que
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Si Λ es hiperbólico, entonces existe una métrica de Riemann para la cual c = 1; dicha métrica se llama adaptada .
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