n-esfera

En matemáticas , un n -sphere es un espacio topológico que es homeomorfo a un estándar de n - esfera , que es el conjunto de puntos en ( n + 1) -dimensional espacio euclidiano que están situados a una distancia constante r de un punto fijo, llamado el centro . Es la generalización de una esfera ordinaria en el espacio tridimensional ordinario . El "radio" de una esfera es la distancia constante de sus puntos al centro. Cuando la esfera tiene unidad de radio, es habitual llamarlala unidad n -esfera o simplemente la n -esfera para abreviar. En términos de la norma estándar , la n -esfera se define como

La dimensión de n -esfera es n , y no debe confundirse con la dimensión ( n + 1) del espacio euclidiano en el que está incrustada naturalmente . Una n- esfera es la superficie o límite de una bola ( n + 1) dimensional .

Para n ≥ 2 , las n- esferas que son variedades diferenciales se pueden caracterizar ( hasta un difeomorfismo ) como las variedades n- dimensionales simplemente conectadas de curvatura positiva constante . Las n- esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, se pueden construir pegando dos espacios euclidianos n -dimensionales juntos, identificando el límite de un n- cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de un ( n - 1)-esfera. La esfera 1 es la variedad 1 que es un círculo, que no está simplemente conectado. La esfera 0 es la variedad 0 que consta de dos puntos, que ni siquiera está conectado.

Para cualquier número natural n , una n- esfera de radio r se define como el conjunto de puntos en el espacio euclidiano ( n + 1) dimensional que están a una distancia r de algún punto fijo c , donde r puede ser cualquier número real positivo y donde c puede ser cualquier punto en el espacio ( n + 1) dimensional. En particular:

El conjunto de puntos en ( n + 1) -espacio, ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{n +1} ) , que definen una n -esfera`` está representado por la ecuación:${\ Displaystyle S ^ {n} (r)}$

Lo anterior n -sphere existe en ( n + 1) espacio euclidiano dimensional y es un ejemplo de un n - múltiple . La forma volumétrica ω de una n -esfera de radio r viene dada por

Estructura alámbrica de 2 esferas como proyección ortogonal

Así como una proyección estereográfica puede proyectar la superficie de una esfera en un plano, también puede proyectar una esfera tridimensional en un espacio tridimensional. Esta imagen muestra tres direcciones de coordenadas proyectadas en 3 espacios: paralelos (rojo), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Debido a la propiedad conforme de la proyección estereográfica, las curvas se cruzan entre sí ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que se cruzan ⟨0,0,0,1⟩ tienen un radio infinito (= línea recta).

Gráficos de volúmenes  ( V ) y áreas de superficie  ( S ) de n bolas de radio 1. En el archivo SVG, coloque el cursor sobre un punto para resaltarlo y su valor.

n se refiere a la dimensión del espacio euclidiano ambiental, que es también la dimensión intrínseca del sólido cuyo volumen se enumera aquí, pero que es 1 más que la dimensión intrínseca de la esfera cuya superficie se enumera aquí. Las flechas rojas curvas muestran la relación entre fórmulas para diferentes n . El coeficiente de fórmula en la punta de cada flecha es igual al coeficiente de fórmula en la cola de esa flecha multiplicado por el factor en la punta de flecha (donde la n en la punta de flecha se refiere alvalor n al que apunta la punta de flecha). Si se invirtiera la dirección de las flechas inferiores, sus puntas dirían que se multiplique por 2π / n - 2 . Alternativamente dicho, el área de la superficie S_{n +1} de la esfera en n + 2dimensiones es exactamente2 π R veces el volumen V _n encerrado por la esfera en n dimensiones.

Un conjunto de puntos distribuidos uniformemente en la superficie de una unidad de 2 esferas generada mediante el algoritmo de Marsaglia.