Ideal (teoría del anillo)

En la teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta , el ideal de un anillo es un subconjunto especial de sus elementos. Los ideales generalizan ciertos subconjuntos de los números enteros , como los números pares o los múltiplos de 3. La suma y resta de números pares preserva la igualdad, y la multiplicación de un número par por un número entero da como resultado un número par; estas propiedades de cierre y absorción son las propiedades definitorias de un ideal. Se puede usar un ideal para construir un anillo de cociente de una manera similar a cómo, en la teoría de grupos , se puede usar un subgrupo normal para construir un grupo cociente .

Entre los enteros, los ideales corresponden uno a uno con los enteros no negativos : en este anillo, cada ideal es un ideal principal que consiste en los múltiplos de un solo número no negativo. Sin embargo, en otros anillos, los ideales pueden no corresponder directamente a los elementos del anillo, y ciertas propiedades de los números enteros, cuando se generalizan a los anillos, se adhieren más naturalmente a los ideales que a los elementos del anillo. Por ejemplo, los ideales primos de un anillo son análogos a los números primos , y el teorema chino del resto se puede generalizar a los ideales. Hay una versión de factorización prima única para los ideales de un dominio de Dedekind (un tipo de anillo importante enteoría de números ).

El concepto relacionado, pero distinto, de un ideal en la teoría del orden se deriva de la noción de ideal en la teoría del anillo. Un ideal fraccionario es una generalización de un ideal, y los ideales habituales a veces se denominan ideales integrales para mayor claridad.

Ernst Kummer inventó el concepto de números ideales para que sirvieran como factores "faltantes" en los anillos de números en los que falla la factorización única; aquí la palabra "ideal" tiene el sentido de existir solo en la imaginación, en analogía con los objetos "ideales" en geometría, como los puntos en el infinito. ^[1] En 1876, Richard Dedekind reemplazó el concepto indefinido de Kummer por conjuntos concretos de números, conjuntos que llamó ideales, en la tercera edición del libro de Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie , al que Dedekind había agregado muchos suplementos.David Hilbert y especialmente Emmy Noether .

Para un anillo arbitrario , sea su grupo aditivo . Un subconjunto se llama ideal izquierdo de si es un subgrupo aditivo de que "absorbe la multiplicación por la izquierda por elementos de "; es decir, es un ideal izquierdo si cumple las siguientes dos condiciones: ${\ estilo de visualización (R, +, \ cdot)}$ ${\ estilo de visualización (R, +)}$ ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización R}$ ${\ estilo de visualización R}$ ${\ estilo de visualización R}$ ${\ estilo de visualización yo}$

Un ideal recto se define con la condición " rx ∈ I " reemplazada por " xr ∈ I " . Un ideal de dos colas es un ideal izquierdo que también es un ideal derecho y, a veces, simplemente se le llama ideal. En el lenguaje de los módulos , las definiciones significan que un ideal izquierdo (resp. derecho, de dos lados) de R es precisamente un submódulo R izquierdo (resp. derecho, bi-) de R cuando R se ve como un módulo R . cuando res un anillo conmutativo, las definiciones de ideal izquierdo, derecho y de dos lados coinciden, y el término ideal se usa solo.