En álgebra abstracta , si I y J son ideales de un anillo conmutativo R , su cociente ideal ( I : J ) es el conjunto
Entonces ( I : J ) es en sí mismo un ideal en R . El cociente ideal se considera un cociente porque si y solo si . El cociente ideal es útil para calcular descomposiciones primarias . También surge en la descripción de la diferencia de conjuntos en geometría algebraica (ver más abajo).
( I : J ) a veces se denomina ideal de dos puntos debido a la notación. En el contexto de los ideales fraccionarios , existe una noción relacionada de la inversa de un ideal fraccionario.
Propiedades
El cociente ideal satisface las siguientes propiedades:
- como -módulos, donde denota el aniquilador de como un -módulo.
- (siempre que R sea un dominio integral)
Calcular el cociente
Las propiedades anteriores se pueden utilizar para calcular el cociente de ideales en un anillo polinomial dados sus generadores. Por ejemplo, si I = ( f 1 , f 2 , f 3 ) y J = ( g 1 , g 2 ) son ideales en k [ x 1 , ..., x n ], entonces
Entonces la teoría de la eliminación se puede usar para calcular la intersección de I con ( g 1 ) y ( g 2 ):
Calcule una base de Gröbner para tI + (1- t ) ( g 1 ) con respecto al orden lexicográfico. Entonces las funciones base que no tienen t en ellas generan.
Interpretación geométrica
El cociente ideal corresponde a la diferencia de conjuntos en geometría algebraica . [1] Más precisamente,
- Si W es una variedad afín y V es un subconjunto del espacio afín (no necesariamente una variedad), entonces
dónde denota la toma del ideal asociado a un subconjunto.
- Si I y J son ideales en k [ x 1 , ..., x n ], con k algebraicamente cerrado e I radical, entonces
dónde denota el cierre de Zariski , ydenota la toma de la variedad definida por un ideal. Si I no es radical, entonces se cumple la misma propiedad si saturamos el ideal J :
dónde .
Ejemplos de
- En ,
- En la teoría algebraica de números, el cociente ideal es útil al estudiar los ideales fraccionarios . Esto se debe a que el inverso de cualquier ideal fraccionario invertible de un dominio integral viene dado por el cociente ideal .
- Una aplicación geométrica del cociente ideal es eliminar un componente irreducible de un esquema afín. Por ejemplo, deja en ser los ideales correspondientes a la unión de los planos x, y, z y los planos xey en . Entonces, el cociente ideal es el ideal del plano z en . Esto muestra cómo se puede utilizar el cociente ideal para "eliminar" subesquemas irreducibles.
- Un ejemplo útil de la teoría de esquemas es tomar el cociente ideal de un ideal reducible. Por ejemplo, el cociente ideal, mostrando que el cociente ideal de un subesquema de algún esquema no reducido, donde ambos tienen el mismo subesquema reducido, elimina parte de la estructura no reducida.
- Podemos usar el ejemplo anterior para encontrar la saturación de un ideal correspondiente a un esquema proyectivo. Dado un ideal homogéneola saturación de se define como el cociente ideal dónde . Es un teorema que el conjunto de ideales saturados de contenida en está en biyección con el conjunto de subesquemas proyectivos en . [2] Esto nos muestra quedefine la misma curva proyectiva que en .
Referencias
- ^ David Cox; John Little; Donal O'Shea (1997). Ideales, variedades y algoritmos: una introducción a la geometría algebraica computacional y el álgebra conmutativa . Saltador. ISBN 0-387-94680-2., p. 195
- ^ Greuel, Gert-Martin; Pfister, Gerhard (2008). Una introducción singular al álgebra conmutativa (2ª ed.). Springer-Verlag. pag. 485 . ISBN 9783642442544.
- Viviana Ene, Jürgen Herzog: 'Bases de Gröbner en álgebra conmutativa', AMS Graduate Studies in Mathematics , Vol 130 (AMS 2012)
- MFAtiyah, IGMacDonald: 'Introducción al álgebra conmutativa', Addison-Wesley 1969.