función igusa zeta

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En matemáticas , una función Igusa zeta es un tipo de función generadora , que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p , p ² , p ³ , etc.

Para un número primo p , sea K un campo p-ádico , es decir , R el anillo de valoración y P el ideal máximo . Porque denotamos por la valoración de z , y por un parámetro uniformizador π de R .${\displaystyle [K:\mathbb {Q}_{p}]<\infty}$${\ estilo de visualización z \ en K}$${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ord} (z)}$${\displaystyle \mid z\mid =q^{-\operatorname {ord} (z)}}$${\displaystyle ac(z)=z\pi ^{-\operatorname {ord} (z)}}$

Además, sea ​​una función de Schwartz-Bruhat , es decir, una función localmente constante con soporte compacto y sea ​​un carácter de .${\displaystyle \phi :K^{n}\mapsto\mathbb {C} }$${\ estilo de visualización \ chi}$${\displaystyle R^{\veces}}$

En esta situación se asocia a un polinomio no constante la función Igusa zeta${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n})\in K[x_{1},\ldots,x_{n}]}$

donde y dx es la medida de Haar tan normalizada que tiene medida 1.${\displaystyle s\in \mathbb {C},\operatorname {Re} (s)>0,}$${\displaystyle R^{n}}$

Jun-Ichi Igusa  ( 1974 ) demostró que es una función racional en . La demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades . Más tarde, Jan Denef proporcionó una prueba completamente diferente utilizando la descomposición de células p-ádicas. Sin embargo, se sabe poco acerca de las fórmulas explícitas. (Hay algunos resultados sobre las funciones de Igusa zeta de las variedades Fermat ).${\displaystyle Z_{\phi }(s,\chi )}$${\displaystyle t=q^{-s}}$

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