En matemáticas , una función de Schwartz-Bruhat , llamada así por Laurent Schwartz y François Bruhat , es una función valorada compleja en un grupo abeliano localmente compacto , como los adeles , que generaliza una función de Schwartz en un espacio vectorial real. Una distribución templada se define como un funcional lineal continuo en el espacio de funciones de Schwartz-Bruhat.
Definiciones
- En un espacio vectorial real , las funciones de Schwartz-Bruhat son solo las funciones habituales de Schwartz (todas las derivadas disminuyen rápidamente) y forman el espacio .
- En un toro, las funciones de Schwartz-Bruhat son las funciones suaves.
- En una suma de copias de los números enteros, las funciones de Schwartz-Bruhat son funciones que disminuyen rápidamente.
- En un grupo elemental (es decir, un grupo abeliano localmente compacto que es un producto de copias de los reales , los números enteros , el grupo circular y los grupos finitos), las funciones de Schwartz-Bruhat son las funciones suaves todas cuyas derivadas están disminuyendo rápidamente . [1]
- En un grupo abeliano general localmente compacto , dejar ser un subgrupo generado de forma compacta , y un subgrupo compacto de tal que es elemental. Luego, el retroceso de una función Schwartz-Bruhat en es una función de Schwartz-Bruhat en y todas las funciones de Schwartz-Bruhat en se obtienen así para adecuar y . (El espacio de Schwartz-Bruhat funciona enestá dotado de la topología límite inductiva ).
- En un campo local no arquimediano , una función de Schwartz-Bruhat es una función localmente constante de soporte compacto.
- En particular, en el ring de adeles sobre un campo global , las funciones de Schwartz-Bruhat son combinaciones lineales finitas de los productos sobre cada lugar de , donde cada es una función de Schwartz-Bruhat en un campo local y es la función característica en el anillo de números enteros para todos, pero para un número finito . (Para los lugares de Arquímedes de, la son solo las funciones habituales de Schwartz en , mientras que para los lugares no arquimedianos el son las funciones de Schwartz-Bruhat de los campos locales no arquimedianos.)
- El espacio de Schwartz-Bruhat funciona en los adeles se define como el producto tensorial restringido [2] de los espacios Schwartz-Bruhat de campos locales, donde es un conjunto finito de lugares de . Los elementos de este espacio son de la forma, dónde para todos y para todos, pero para un número finito . Para cada podemos escribir , que es finito y, por tanto, está bien definido. [3]
Ejemplos de
- Todas las funciones de Schwartz-Bruhat Se puede escribir como , donde cada , , y . [4] Esto se puede ver observando que ser un campo local implica que por definición tiene soporte compacto, es decir, tiene una subcubierta finita. Dado que cada abierto se establece en se puede expresar como una unión disjunta de bolas abiertas de la forma (para algunos y ) tenemos
- . La función también debe ser localmente constante, por lo que para algunos . (Como para evaluado en cero, siempre se incluye como término.)
- Sobre los adeles racionales todas las funciones en el espacio Schwartz-Bruhat son combinaciones lineales finitas de sobre todos los primos racionales , dónde , , y para todos, pero para un número finito . Los conjuntos y son el campo de números p-ádicos y el anillo de números enteros p-ádicos respectivamente.
Propiedades
La transformada de Fourier de una función de Schwartz-Bruhat en un grupo abeliano localmente compacto es una función de Schwartz-Bruhat en el grupo dual de Pontryagin . En consecuencia, la transformada de Fourier lleva distribuciones templadas en dicho grupo a distribuciones templadas en el grupo dual. Dada la medida de Haar (aditiva) en el espacio Schwartz-Bruhat es denso en el espacio
Aplicaciones
En la teoría algebraica de números , las funciones de Schwartz-Bruhat en los adeles pueden usarse para dar una versión adelica de la fórmula de suma de Poisson del análisis, es decir, para cada uno tiene , dónde . John Tate desarrolló esta fórmula en su tesis doctoral para probar una versión más general de la ecuación funcional para la función zeta de Riemann . Esto implica dar a la función zeta de un campo numérico una representación integral en la que la integral de una función de Schwartz-Bruhat, elegida como función de prueba, está torcida por un cierto carácter y se integra sobrecon respecto a la medida Haar multiplicativa de este grupo. Esto permite aplicar métodos analíticos para estudiar funciones zeta a través de estas integrales zeta. [5]
Referencias
- ^ Osborne, M .; Scott (1975). "En el espacio de Schwartz-Bruhat y el teorema de Paley-Wiener para grupos abelianos compactos localmente". Revista de análisis funcional . 19 : 40–49. doi : 10.1016 / 0022-1236 (75) 90005-1 .
- ^ Golpe, p.300
- ↑ Dinakar, Robert, p.260
- ↑ Deitmar, p.134
- ^ Tate, John T. (1950), "Análisis de Fourier en campos numéricos y funciones zeta de Hecke", Teoría algebraica de números (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, págs. ISBN 978-0-9502734-2-6, MR 0217026
- Osborne, M .; Scott (1975). "En el espacio de Schwartz-Bruhat y el teorema de Paley-Wiener para grupos abelianos compactos localmente". Revista de análisis funcional . 19 : 40–49. doi : 10.1016 / 0022-1236 (75) 90005-1 .
- Gelfand, IM; et al. (1990). Teoría de la representación y funciones automórficas . Boston: Prensa académica. ISBN 0-12-279506-7.
- Bump, Daniel (1998). Formas y representaciones automórficas . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521658188.
- Deitmar, Anton (2012). Formas automórficas . Berlín: Springer-Verlag London. ISBN 978-1-4471-4434-2. ISSN 0172-5939 .
- Dinakar R, Robert JV (1999). Análisis de Fourier sobre campos numéricos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387984360.
- Tate, John T. (1950), "Análisis de Fourier en campos numéricos y funciones zeta de Hecke", Teoría algebraica de números (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, págs. ISBN 978-0-9502734-2-6, MR 0217026