Función Igusa zeta

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En matemáticas , una función zeta de Igusa es un tipo de función generadora , que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p , p ² , p ³ , etc.

Para un número primo p, sea K un campo p-ádico , es decir , R el anillo de valoración y P el ideal máximo . Para denotamos por la valoración de z , y para un π parámetro de uniformización de R .${\ Displaystyle [K: \ mathbb {Q} _ {p}] <\ infty}$${\ Displaystyle z \ in K}$${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (z)}$${\ Displaystyle \ mid z \ mid = q ^ {- \ operatorname {ord} (z)}}$${\ Displaystyle ac (z) = z \ pi ^ {- \ operatorname {ord} (z)}}$

Además, sea ​​una función de Schwartz-Bruhat , es decir, una función localmente constante con soporte compacto y sea ​​un carácter de .${\ Displaystyle \ phi: K ^ {n} \ mapsto \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ chi}$${\ Displaystyle R ^ {\ times}}$

En esta situación se asocia a un polinomio no constante la función zeta de Igusa${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

donde y dx es la medida de Haar tan normalizada que tiene la medida 1.${\ Displaystyle s \ in \ mathbb {C}, \ operatorname {Re} (s)> 0,}$${\ Displaystyle R ^ {n}}$

Jun-Ichi Igusa  ( 1974 ) demostró que es una función racional en . La demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades . Más tarde, Jan Denef dio una prueba completamente diferente usando la descomposición de células p-ádicas. Sin embargo, se sabe poco sobre fórmulas explícitas. (Hay algunos resultados sobre las funciones zeta de Igusa de las variedades de Fermat ).${\ Displaystyle Z _ {\ phi} (s, \ chi)}$${\ Displaystyle t = q ^ {- s}}$

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