... (repite el patrón del área azul) |
i −3 = yo |
i −2 = −1 |
i −1 = - yo |
yo 0 = 1 |
yo 1 = yo |
yo 2 = −1 |
yo 3 = - yo |
yo 4 = 1 |
yo 5 = yo |
i 6 = −1 |
yo n = yo m donde m ≡ n mod 4 |
Un número imaginario es un número complejo que se puede escribir como un número real multiplicado por la unidad imaginaria i , [nota 1] que se define por su propiedad i 2 = −1 . [1] [2] El cuadrado de un número imaginario bi es - b 2 . Por ejemplo, 5 i es un número imaginario y su cuadrado es −25 . Por definición, el cero se considera tanto real como imaginario. [3]
Originalmente acuñado en el siglo XVII por René Descartes [4] como un término despectivo y considerado ficticio o inútil, el concepto ganó una amplia aceptación siguiendo el trabajo de Leonhard Euler (en el siglo XVIII) y Augustin-Louis Cauchy y Carl Friedrich Gauss ( a principios del siglo XIX).
Un número imaginario bi se puede añadir a un número real una para formar un número complejo de la forma a + bi , donde los números reales a y b se denominan, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del número complejo. [5] [nota 2]
Historia
Aunque el matemático e ingeniero griego Héroe de Alejandría es conocido como el primero en concebir números imaginarios, [6] [7] fue Rafael Bombelli quien estableció por primera vez las reglas para la multiplicación de números complejos en 1572. El concepto había aparecido impreso antes, como en el trabajo de Gerolamo Cardano . En ese momento, los números imaginarios y los números negativos eran poco entendidos y algunos los consideraban ficticios o inútiles tanto como lo era el cero. Muchos otros matemáticos tardaron en adoptar el uso de números imaginarios, incluido René Descartes , quien escribió sobre ellos en su La Géométrie en la que se usaba el término imaginario y pretendía ser despectivo. [8] [9] El uso de números imaginarios no fue ampliamente aceptado hasta el trabajo de Leonhard Euler (1707-1783) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855). El significado geométrico de los números complejos como puntos en un plano fue descrito por primera vez por Caspar Wessel (1745-1818). [10]
En 1843, William Rowan Hamilton extendió la idea de un eje de números imaginarios en el plano a un espacio tetradimensional de imaginarios de cuaterniones en el que tres de las dimensiones son análogas a los números imaginarios en el campo complejo.
Interpretación geométrica
Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano de números complejos , lo que permite que se presenten perpendicularmente al eje real. Una forma de ver los números imaginarios es considerar una recta numérica estándar que aumenta positivamente en magnitud hacia la derecha y aumenta negativamente en magnitud hacia la izquierda. En 0 en el eje x , se puede dibujar un eje y con dirección "positiva" hacia arriba; los números imaginarios "positivos" aumentan entonces en magnitud hacia arriba, y los números imaginarios "negativos" aumentan en magnitud hacia abajo. Este eje vertical a menudo se denomina "eje imaginario" y se denota o ℑ .
En esta representación, la multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados alrededor del origen. La multiplicación por i corresponde a una rotación de 90 grados en la dirección "positiva" en sentido antihorario, y la ecuación i 2 = −1 se interpreta como diciendo que, si aplicamos dos rotaciones de 90 grados alrededor del origen, el resultado neto es un solo Rotación de 180 grados. Tenga en cuenta que una rotación de 90 grados en la dirección "negativa" (en el sentido de las agujas del reloj) también satisface esa interpretación, que refleja el hecho de que - i también resuelve la ecuación x 2 = −1 . En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que rotar alrededor del origen por el argumento del número complejo , seguido de una escala por su magnitud.
Raíces cuadradas de números negativos
Se debe tener cuidado al trabajar con números imaginarios que se expresan como los valores principales de las raíces cuadradas de números negativos : [11]
Eso a veces se escribe como:
La falacia ocurre como la igualdadfalla cuando las variables no están adecuadamente restringidas. En ese caso, la igualdad no se cumple ya que los números son negativos, lo que puede demostrarse mediante:
donde tanto x como y son números reales no negativos.
Ver también
Notas
- ^ j se usa generalmente en contextos de ingeniería donde i tiene otros significados (como corriente eléctrica)
- ^ Tanto la parte real como la imaginaria se definen como números reales.
Referencias
- ^ Uno Ingard, K. (1988). "Capitulo 2". Fundamentos de ondas y oscilaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 38. ISBN 0-521-33957-X.
- ^ Weisstein, Eric W. "Número imaginario" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
- ^ Sinha, KC (2008). Un libro de texto de matemáticas Clase XI (Segunda ed.). Publicaciones Rastogi. pag. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
- ^ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Análisis matemático: aproximación y procesos discretos (edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pag. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extracto de la página 121
- ^ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C .; Nación, Richard (2009). Álgebra universitaria: edición mejorada (6ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 66. ISBN 1-4390-4379-5.
- ^ Hargittai, István (1992). Simetría quíntuple (2ª ed.). World Scientific. pag. 153. ISBN 981-02-0600-3.
- ^ Roy, Stephen Campbell (2007). Números complejos: aplicaciones de simulación de celosía y función zeta . Horwood. pag. 1. ISBN 1-904275-25-7.
- ^ Descartes, René , Discourse de la Méthode ... (Leiden, (Países Bajos): Jan Maire, 1637), libro adjunto: La Géométrie , libro tres, p. 380. De la página 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'on 'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires. " (Además, tanto las raíces verdaderas como las falsas no siempre son reales, sino que a veces solo son cantidades imaginarias; es decir, siempre se pueden imaginar tantas en cada ecuación como dije; pero hay a veces ninguna cantidad que se corresponda con lo que uno imagina, al igual que aunque uno puede imaginar tres de ellos en esta [ecuación], x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, solo uno de ellos sin embargo es real, que es 2, y con respecto a los otros dos, aunque uno los aumente, disminuya o multiplique de la manera que acabo de explicar, no se podrían hacer más que [cantidades] imaginarias.)
- ^ Martinez, Albert A. (2006), Matemáticas negativas: cómo las reglas matemáticas pueden ser dobladas positivamente , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, analiza las ambigüedades de significado en expresiones imaginarias en el contexto histórico.
- ^ Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). "Capítulo 10". Una historia de la geometría no euclidiana: evolución del concepto de espacio geométrico . Saltador. pag. 382. ISBN 0-387-96458-4.
- ^ Nahin, Paul J. (2010). Un cuento imaginario: la historia de "i" [la raíz cuadrada de menos uno] . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extracto de la página 12
Bibliografía
- Nahin, Paul (1998). Un cuento imaginario: la historia de la raíz cuadrada de -1 . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-02795-1., explica muchas aplicaciones de expresiones imaginarias.
enlaces externos
- ¿Cómo se puede demostrar que los números imaginarios existen realmente? - un artículo que analiza la existencia de números imaginarios.
- Programa de 5 números 4 Programa de BBC Radio 4
- ¿Por qué utilizar números imaginarios? Explicación básica y usos de los números imaginarios