La topología de espacio vectorial topológico (TVS) localmente convexo más fuerte en, el producto tensorial de dos TVS localmente convexos, lo que hace que el mapa canónico (definido por enviar a ) por separado continuo se llama topología inductiva o topología ι . Cuando X ⊗ Y está dotado de esta topología, se denota pory llamado el producto tensorial inductivo de X y Y . [1]
Preliminares
Deje que X , Y y Z sean espacios vectoriales topológicos y ser un mapa lineal.
- es un homomorfismo topológico u homomorfismo , si es lineal, continuo yes un mapa abierto , donde, La imagen de L , tiene la topología del subespacio inducida por Y .
- Si S es un subespacio de X, entonces tanto el mapa del cociente y la inyección canónica son homomorfismos. En particular, cualquier mapa lineal se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: dónde define una biyección.
- El conjunto de mapas lineales continuos (resp. mapas bilineales continuos ) será denotado por L (X, Z) (resp. B (X, Y; Z) ) donde si Z es el campo escalar, entonces podemos escribir L (X) (resp. B (X, Y) ).
- Denotaremos el espacio dual continuo de X por X * oy el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en X , sean continuos o no) por.
- Para aumentar la claridad de la exposición, utilizamos la convención común de escribir elementos de con un primo después del símbolo (por ejemplo denota un elemento de y no, digamos, una derivada y las variables x y no necesita estar relacionado de ninguna manera).
- Un mapa lineal de un espacio de Hilbert en sí mismo se llama positivo si para cada . En este caso, hay un mapa positivo único., llamada raíz cuadrada de, tal que . [2]
- Si es cualquier mapa lineal continuo entre espacios de Hilbert, entonces siempre es positivo. Ahora dejadenotar su raíz cuadrada positiva, que se llama el valor absoluto de L . Definir primero en configurando por y extendiendo continuamente a , y luego defina U en configurando por y extender este mapa linealmente a todos los . El mapa es una isometría sobreyectiva y .
- Un mapa lineal se llama compacto o completamente continuo si hay una vecindad U del origen en X tal quees precompacto en Y . [3]
- En un espacio de Hilbert, operadores lineales compactos positivos, digamos tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del siglo XX por Fredholm y F. Riesz: [4]
- Hay una secuencia de números positivos, decrecientes y finitos o convergentes a 0, y una secuencia de subespacios de dimensión finita distintos de cero de H (i = 1, 2, ) con las siguientes propiedades: (1) los subespacios son ortogonales por pares; (2) por cada y cada , ; y (3) la ortogonal del subespacio abarcado por es igual a la del núcleo de L . [4]
Notación para topologías
- σ (X, X ′) denota la topología más burda en X haciendo que cada mapa en X ′ sea continuo y o denota X dotado de esta topología .
- σ (X ′, X) denota topología débil- * en X * y o denota X ′ dotado de esta topología .
- Tenga en cuenta que cada induce un mapa definido por . σ (X ′, X) es la topología más burda de X ′, lo que hace que todos estos mapas sean continuos.
- b (X, X ′) denota la topología de convergencia acotada en X y o denota X dotado de esta topología .
- b (X ′, X) denota la topología de convergencia acotada en X ′ o la topología dual fuerte en X ′ y o denota X ′ dotado de esta topología .
- Como es habitual, si X * se considera un espacio vectorial topológico pero no se ha aclarado con qué topología está dotado, se supondrá que la topología es b (X ′, X).
Propiedad universal
Suponga que Z es un espacio localmente convexo y que I es el mapa canónico del espacio de todas las asignaciones bilineales de la forma, entrando en el espacio de todas las asignaciones lineales de . [1] Entonces, cuando el dominio de I está restringido a (el espacio de mapas bilineales continuos por separado) entonces el rango de esta restricción es el espacio de operadores lineales continuos . En particular, el espacio dual continuo de es canónicamente isomorfo al espacio , el espacio de formas bilineales continuas por separado en .
Si 𝜏 es una topología TVS localmente convexa en X ⊗ Y ( X ⊗ Y con esta topología se indicará por), entonces 𝜏 es igual a la topología del producto del tensor inductivo si y solo si tiene la siguiente propiedad: [5]
- Para cada TVS Z localmente convexo , si I es el mapa canónico del espacio de todas las asignaciones bilineales de la forma , entrando en el espacio de todas las asignaciones lineales de , entonces cuando el dominio de I se restringe a (espacio de mapas bilineales continuos por separado) entonces el rango de esta restricción es el espacio de operadores lineales continuos .
Ver también
Referencias
Bibliografía
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enlaces externos
- Espacio nuclear en ncatlab