En matemáticas, el producto del tensor inyectivo de dos espacios vectoriales topológicos (TVS) fue introducido por Alexander Grothendieck y lo utilizó para definir espacios nucleares . En general, un producto tensorial inyectivo no es necesariamente completo , por lo que su finalización se denomina productos tensoriales inyectivos completados . Los productos de tensor inyectivo tienen aplicaciones fuera de los espacios nucleares. En particular, como se describe a continuación, hasta el isomorfismo TVS, muchos TVS que se definen para funciones valoradas reales o complejas, por ejemplo, el espacio de Schwartz o el espacio de funciones continuamente diferenciables, pueden extenderse inmediatamente a funciones valoradas en un Hausdorff.convexa localmente TVS Y con cabo cualquier necesidad de ampliar las definiciones (como "diferenciable en un punto") de funciones reales / de valor complejo a Y -valued funciones.
Preliminares y notación
Deje que X , Y y Z sean espacios vectoriales topológicos y ser un mapa lineal.
- es un homomorfismo topológico u homomorfismo , si es lineal, continuo yes un mapa abierto , dondela imagen de L , tiene la topología subespacio inducida por Y .
- Si es un subespacio de X, entonces tanto el mapa del cociente y la inyección canónica son homomorfismos. En particular, cualquier mapa lineal se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: dónde define una biyección.
- El conjunto de mapas lineales continuos (resp. mapas bilineales continuos ) será denotado por (resp. B ( X , Y ; Z )) donde si es el campo escalar, entonces podemos escribir (resp. B ( X , Y )).
- El conjunto de mapas bilineales continuos por separado (es decir, continuo en cada variable cuando la otra variable es fija) se denotará por donde si es el campo escalar, entonces podemos escribir
- Denotaremos el espacio dual continuo de por o y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en sea continuo o no) por
- Para aumentar la claridad de la exposición, utilizamos la convención común de escribir elementos de con un primo después del símbolo (p. ej. denota un elemento de y no, digamos, una derivada y las variables y no necesita estar relacionado de ninguna manera).
Notación para topologías
- denota la topología más burda en haciendo cada mapa en continuo y o denota dotados de esta topología .
- denota topología débil- * en y o denota dotados de esta topología .
- Tenga en cuenta que cada induce un mapa definido por es la topología más burda en X ′, lo que hace que todos estos mapas sean continuos.
- denota la topología de convergencia acotada en y o denota dotados de esta topología .
- denota la topología de convergencia acotada eno la fuerte topología dual en y o denota dotados de esta topología .
- Como de costumbre, si se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha aclarado con qué topología está dotado, entonces se asumirá que la topología es
- denota la topología de Mackey eno la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos balanceados débilmente compactos de X ′ y o denota dotados de esta topología. es la topología de TVS localmente convexa más fina en cuyo espacio dual continuo es igual a
- denota la topología de Mackey eno la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos balanceados débilmente compactos de y o denota dotados de esta topología.
- Tenga en cuenta que [1]
- denota la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de y o denota dotados de esta topología .
- Si H es un conjunto de asignaciones linealesentonces H es equicontinuo si y solo si es equicontinuo en el origen; es decir, si y solo si para cada vecindario V de 0 en Y , existe un vecindario U del origen en tal que para cada
- Un conjunto H de mapas lineales de X a Y se llama equicontinuo si para cada vecindario V del origen en Y , existe un vecindario U del origen en X tal que para todos [2]
Definición
A lo largo de dejar y Ser espacios vectoriales topológicos con espacios duales continuos. y Tenga en cuenta que casi todos los resultados descritos son independientes de si estos espacios vectoriales han terminado. o pero para simplificar la exposición asumiremos que están sobre el terreno
Mapas bilineales continuos como producto tensorial
Aunque la cuestión de si un espacio vectorial es o no un producto tensorial de otros dos espacios vectoriales es puramente algebraica (es decir, la respuesta no depende de las topologías de X o Y ), no obstante, el espacio vectorialde funcionales bilineales continuos es siempre un producto tensorial de X e Y , como se describe ahora.
Para cada ahora definimos una forma bilineal, denotada por el símbolo de en el campo subyacente (es decir, ) por
Teorema - Sea y ser espacios vectoriales y dejar ser un mapa bilineal. Entonces los siguientes son equivalentes: [3]
- es un producto tensorial de X e Y ;
- (a) la imagen de abarca todo Z , y (b) X e Y son-linearly disjoint (esto significa que para todos los enteros positivos y todos los elementos y tal que (i) si todo son linealmente independientes, entonces todos son 0, y (ii) si todos son linealmente independientes, entonces todos son 0).
De manera equivalente, X e Y son-linealmente disjunto si y solo si para todas las secuencias linealmente independientes en y todas las secuencias linealmente independientes en Y , los vectores son linealmente independientes.
Topología
En lo sucesivo, se supondrá que todos los espacios vectoriales topológicos considerados son localmente convexos. Sies cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces para cualquier subconjunto equicontinuo y y cualquier barrio en definir
Cada set está acotado, lo cual es necesario y suficiente para la recopilación de todos los para formar una topología TVS localmente convexa en llamó al -topología . Las inclusiones
En particular, cuando es el campo escalar subyacente entonces desde el espacio vectorial topológico será denotado por que se llama el producto tensorial inyectivo de y Este TVS no está necesariamente completo, por lo que su finalización se indicará mediante El espacio está completo si y solo si ambos y están completos, en cuyo caso la finalización de es un espacio subvector, denotado por de Si y están normativos, entonces también lo es Y es un espacio de Banach si y solo si ambos y son espacios de Banach. [4]
Conjuntos equicontinuos
Una razón para converger en subconjuntos equicontinuos (de todas las posibilidades) es el siguiente hecho importante:
- Un conjunto de funcionales lineales continuos en un televisor [nota 1] es equicontinuo si y solo si está contenido en el polar de algún vecindario de en ; es decir,
La topología de un TVS está completamente determinada por los vecindarios abiertos del origen. Este hecho junto con el teorema bipolar significa que a través de la operación de tomar el polar de un subconjunto, la colección de todos los subconjuntos equicontinuos de "codifica" toda la información sobre topología dada. Específicamente, distintas topologías LCTVS enproducir colecciones distintas de subconjuntos equicontinuos y, a la inversa, dada dicha colección de conjuntos equicontinuos, la topología original del TVS se puede recuperar tomando el polar de cada conjunto (equicontinuo) en la colección. Así, a través de esta identificación, la convergencia uniforme en la colección de subconjuntos equicontinuos es esencialmente una convergencia uniforme en la topología misma del TVS; esto permite relacionar directamente la topología inyectiva con las topologías dadas de y Además, la topología de un espacio de Hausdorff localmente convexo es idéntica a la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de [5]
Por esta razón, el artículo ahora enumera algunas propiedades de los conjuntos equicontinuos que son relevantes para tratar con el producto tensorial inyectivo. A lo largo de y son televisores arbitrarios y es una colección de mapas lineales de dentro
- Si es equicontinuo entonces las topologías subespaciales que hereda de las siguientes topologías en son idénticos: [6]
- la topología de la convergencia precompacta;
- la topología de la convergencia compacta;
- la topología de la convergencia puntual;
- la topología de la convergencia puntual en un subconjunto denso dado de
- Un conjunto equicontinuo está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en ). [6] En particular, también estará acotado en cada topología TVS que sea más tosca que la topología de convergencia acotada.
- Si es un espacio con barriles y es localmente convexo entonces para cualquier subconjunto los siguientes son equivalentes:
- es equicontinuo;
- está limitada en la topología de convergencia puntual (es decir, limitada en );
- está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en ).
En particular, para mostrar que un conjunto es equicontinuo, basta para mostrar que está acotado en la topología de convergencia puntual. [7]
- Si es un espacio de Baire, entonces cualquier subconjunto que está delimitado en es necesariamente equicontinuo. [7]
- Si es separable , es metrizable y es un subconjunto denso de X , entonces la topología de la convergencia puntual en hace metrizable de modo que, en particular, la topología del subespacio que cualquier subconjunto equicontinuo hereda de es metrizable. [6]
Para subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo (dónde es ahora el campo escalar subyacente de ), la siguiente retención:
- El cierre débil de un conjunto equicontinuo de funcionales lineales en es un subespacio compacto de [6]
- Si es separable entonces cada subconjunto equicontinuo débilmente cerrado de es un espacio compacto metrizable cuando se le da la topología débil (es decir, la topología del subespacio heredada de ). [6]
- Si es un espacio normal y luego un subconjunto es equicontinuo si y solo si está fuertemente acotado (es decir, acotado en ). [6]
- Si es un espacio de barril entonces para cualquier subconjuntolos siguientes son equivalentes: [7]
- es equicontinuo;
- es relativamente compacto en la topología dual débil;
- está débilmente acotado;
- está fuertemente acotado.
Mencionamos algunas propiedades básicas importantes adicionales relevantes para el producto del tensor inyectivo:
- Suponer que es un mapa bilineal donde es un espacio de Fréchet , es metrizable y es localmente convexo. Sies continuo por separado, entonces es continuo. [8]
Identificación canónica de mapas bilineales continuos por separado con mapas lineales
La igualdad establecida siempre se sostiene; eso es, si es un mapa lineal, entonces es continuo si y solo si es continuo, donde aquí tiene su topología original. [9]
También existe un isomorfismo de espacio vectorial canónico [9]
Cuándo se le da la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinos de el mapa canónico se convierte en un isomorfismo TVS [9]
La inclusión siempre aguanta. Si X es normado entonces es de hecho un subespacio vectorial topológico de Y si además Y es Banach, entonces también lo es(incluso si X no está completo). [4]
Propiedades
El mapa canónico es siempre continua [10] y la topología ε es siempre más fina que la topología π y más gruesa que la topología inductiva (que es la topología TVS localmente convexa más fina que hacecontinuo por separado). El espacioes Hausdorff si y solo si tanto X como Y son Hausdorff. [10]
Si X e Y están normativos, entonces es normal, en cuyo caso para todos [11]
Suponer que y son dos mapas lineales entre espacios localmente convexos. Si tanto u como v son continuos, entonces también lo es su producto tensorial[12] Además:
- Si U y V son los dos televisores de incrustaciones entonces también lo es[13]
- Si (resp. ) es un subespacio lineal de (resp. ) luego es canónicamente isomorfo a un subespacio lineal de y es canónicamente isomorfo a un subespacio lineal de [14]
- Hay ejemplos de u y v tales que tanto u como v son homomorfismos sobreyectivos perono es un homomorfismo. [15]
- Si los cuatro espacios están normalizados, [11]
Relación con el producto tensorial proyectivo y los espacios nucleares
La topología convexa local más fuerte en haciendo el mapa canónico (definido por enviar a la forma bilineal ) continua se llama topología proyectiva o la-topología . Cuándo está dotado de esta topología, entonces será denotado por y llamado el producto tensorial proyectivo de X y Y .
Grothendieck utilizó la siguiente definición para definir los espacios nucleares. [dieciséis]
Definición 0 : Sea X un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces X es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo Y , el espacio vectorial canónico incrustado es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio.
Identificaciones canónicas de mapas bilineales y lineales
En esta sección describimos identificaciones canónicas entre espacios de mapas bilineales y lineales. Estas identificaciones se utilizarán para definir subespacios y topologías importantes (en particular, aquellos que se relacionan con operadores nucleares y espacios nucleares ).
Espacios duales del producto tensorial inyectivo y su terminación
Suponer que
El mapa de identidad
Producto tensorial inyectivo de los espacios de Hilbert
Hay un mapa canónico
Cuando X e Y son espacios de Hilbert, entonceses un TVS-incrustación e isometría (cuando los espacios reciben sus normas habituales) cuyo rango es el espacio de todos los operadores lineales compactos de X a Y (que es un subespacio vectorial cerrado de Por eso es idéntico al espacio de los operadores compactos de en Y (observe el primo en X ). El espacio de operadores lineales compactos entre dos espacios de Banach (que incluyen espacios de Hilbert ) X e Y es un subconjunto cerrado de[17]
Además, el mapa canónico es inyectiva cuando X e Y son espacios de Hilbert. [17]
Formas y operadores integrales
Formas bilineales integrales
Denote el mapa de identidad por
Teorema [18] [19] - El dual de consiste exactamente en esas formas bilineales continuas v en que se puede representar en forma de mapa
Operadores lineales integrales
Dado un mapa lineal se puede definir una forma bilineal canónica llamada la forma bilineal asociada en por
Mapa canónico en L ( X ; Y )
Hay un mapa canónico que envía al mapa lineal definido por donde se puede demostrar que la definición de no depende de la elección particular de representación de
Ejemplos de
Espacio de familias sumables
A lo largo de esta sección, arreglamos algunos conjuntos A arbitrarios (posiblemente incontables ) , un TVS y dejamos ser el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de dirigido por la inclusión
Dejar ser una familia de elementos en un televisor y para cada subconjunto finito dejar Nosotros llamamos sumable en si el limite de la red converge en a algún elemento (cualquier elemento de este tipo se llama su suma ). El conjunto de todas estas familias sumables es un subespacio vectorial de denotado por
Ahora definimos una topología en de una forma muy natural. Esta topología resulta ser la topología inyectiva tomada de y transferido a a través de un isomorfismo del espacio vectorial canónico (el obvio). Esta es una ocurrencia común cuando se estudian los productos del tensor inyectivo y proyectivo de los espacios de función / secuencia y TVS: la "forma natural" en la que se definiría (desde cero) una topología en un producto tensorial de este tipo es frecuentemente equivalente a lo inyectivo o proyectivo topología del producto tensorial .
Dejar denotar una base de vecindarios balanceados convexos de 0 en y para cada dejar denotar su funcional Minkowski . Para cualquiera y cualquier dejar
Hay una incrustación canónica de espacios vectoriales definido linealizando el mapa bilineal definido por [21]
Teorema : [21] - La incrustación canónica (de espacios vectoriales) se convierte en una incrustación de espacios vectoriales topológicos Cuándo se le da la topología inyectiva y, además, su rango es denso en su codominio. Si es una terminación de luego la extensión continua de esta incrustación es un isomorfismo de TVS. Entonces, en particular, si está completo entonces es canónicamente isomorfo a
Espacio de funciones con valores vectoriales continuamente diferenciables
A lo largo, deja ser un subconjunto abierto de dónde es un entero y deja ser un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS).
Definición [22] Supongamos y es una función tal que con un punto límite de Dilo es diferenciable ensi existen n vectores en llamadas las derivadas parciales de, tal que
Uno puede extender, naturalmente, la noción de función continuamente diferenciable a Y -valued funciones definidas en Para cualquier dejar denotar el espacio vectorial de todos -mapas valoradas definidas en y deja denotar el subespacio vectorial de que consta de todos los mapas en que tienen soporte compacto.
Entonces se pueden definir topologías en y de la misma manera que las topologías en y se definen para el espacio de distribuciones y funciones de prueba (ver el artículo: Funciones de valores vectoriales diferenciables del espacio euclidiano ). Todo este trabajo para extender la definición de diferenciabilidad y varias topologías resulta ser exactamente equivalente a simplemente tomar el producto tensorial inyectivo completo:
Teorema [23] - Si Y es un espacio localmente convexo de Hausdorff completo, entonces es canónicamente isomórfico al producto tensorial inyectivo
Espacios de mapas continuos desde un espacio compacto
Si Y es un espacio normado y si K es un conjunto compacto, entonces el-norm en es igual a [23] Si H y K son dos espacios compactos, entoncesdonde este mapa canónico es un isomorfismo de los espacios de Banach. [23]
Espacios de secuencias que convergen a 0
Si Y es un espacio normado, dejemos denotar el espacio de todas las secuencias en Y que convergen al origen y dan a este espacio la norma Dejar denotar Luego, para cualquier espacio de Banach Y , es canónicamente isométricamente isomórfico a [23]
Espacio de funciones de Schwartz
Ahora generalizaremos el espacio de Schwartz a funciones valoradas en un TVS. Dejar ser el espacio de todos tal que para todos los pares de polinomios P y Q en n variables,es un subconjunto acotado de Y . Generalizar la topología del espacio de Schwartz para damos la topología de convergencia uniforme sobre de las funciones como P y Q varían en todos los pares posibles de polinomios en n variables. [23]
Teorema [23] - Si Y es un espacio localmente convexo completo, entonces es canónicamente isomorfo a
Ver también
- Espacios auxiliares normativos
- Topología final
- Producto tensor inductivo
- Mapas integrales
- Operadores nucleares
- Espacios nucleares
- Producto tensorial proyectivo
- Producto tensor topológico
Notas
- ^ Esto es cierto incluso si no se supone que sea de Hausdorff o localmente convexo.
Referencias
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- ^ Trèves , 2006 , págs. 338-345.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 403-404.
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- ^ Trèves , 2006 , págs. 368-370.
- ↑ a b c d e f Trèves , 2006 , págs. 338-343.
- ↑ a b c Trèves , 2006 , págs. 347-350.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 351-354.
- ↑ a b c Trèves , 2006 , págs. 428-430.
- ↑ a b Trèves , 2006 , p. 434.
- ↑ a b Trèves , 2006 , p. 444.
- ^ Trèves , 2006 , p. 439.
- ^ Trèves , 2006 , p. 440.
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enlaces externos
- Espacio nuclear en ncatlab