En matemáticas , el teorema bipolar es un teorema en análisis funcional que caracteriza el bipolar (es decir, el polar del polar) de un conjunto. En el análisis convexo , el teorema bipolar se refiere a las condiciones necesarias y suficientes para que un cono sea igual a su bipolar . El teorema bipolar puede verse como un caso especial del teorema de Fenchel-Moreau . [1] : 76–77
Preliminares
Suponer que es un espacio vectorial topológico (TVS) con un espacio dual continuo y deja para todos y El casco convexo de un conjunto denotado por es el conjunto convexo más pequeño que contieneEl casco convexo equilibrado de un conjuntoes el conjunto equilibrado convexo más pequeño que contiene
El polar de un subconjunto se define como:
Declaración en análisis funcional
Dejar denotar la topología débil en (es decir, la topología de TVS más débil en haciendo todos los funcionales lineales en continuo).
- El teorema bipolar : [2] El bipolar de un subconjunto es igual a la -cierre del casco convexo equilibrado de
Declaración en análisis convexo
- El teorema bipolar : [1] : 54 [3] Para cualquier cono no vacíoen algún espacio lineal el conjunto bipolar es dado por:
Caso especial
Un subconjunto es un cono convexo cerrado no vacío si y solo si Cuándo dónde denota el cono dual positivo de un conjunto [3] [4] O de forma más general, si es un cono convexo no vacío, entonces el cono bipolar viene dado por
Relación con el teorema de Fenchel-Moreau
Dejar
Ver también
- Sistema dual
- Teorema de Fenchel-Moreau : una generalización del teorema bipolar.
- Conjunto polar : subconjunto de todos los puntos que está delimitado por algún punto dado de un dual (en un emparejamiento dual)
Referencias
- ^ a b c Borwein, Jonathan ; Lewis, Adrian (2006). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2 ed.). Saltador. ISBN 9780387295701.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225-273.
- ^ a b Boyd, Stephen P .; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 51–53. ISBN 9780521833783. Consultado el 15 de octubre de 2011 .
- ^ a b Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 121-125. ISBN 9780691015866.
Bibliografía
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- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .