En geometría , la esfera o insfera inscrita de un poliedro convexo es una esfera que está contenida dentro del poliedro y es tangente a cada una de las caras del poliedro. Es la esfera más grande que se encuentra en su totalidad dentro del poliedro, y es doble para el poliedro dual 's circumsphere .
El radio de la esfera inscrita en un poliedro P se llama la inradio de P .
Interpretaciones
Todos los poliedros regulares tienen esferas inscritas, pero la mayoría de los poliedros irregulares no tienen todas las facetas tangentes a una esfera común, aunque todavía es posible definir la esfera contenida más grande para tales formas. Para tales casos, la noción de una insfera no parece haber sido definida adecuadamente y se pueden encontrar varias interpretaciones de una insfera :
- La esfera tangente a todas las caras (si existe).
- La esfera tangente a todos los planos faciales (si existe).
- La esfera tangente a un conjunto dado de caras (si existe).
- La esfera más grande que cabe dentro del poliedro.
A menudo, estas esferas coinciden, lo que genera confusión en cuanto a qué propiedades definen exactamente la insfera de los poliedros donde no coinciden.
Por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado regular tiene una esfera tangente a todas las caras, mientras que una esfera más grande todavía se puede colocar dentro del poliedro. ¿Cuál es la insphere? Autoridades importantes como Coxeter o Cundy & Rollett tienen lo suficientemente claro que la esfera de la cara tangente es la insfera. Una vez más, estas autoridades están de acuerdo en que los poliedros de Arquímedes (que tienen caras regulares y vértices equivalentes) no tienen inspiraciones, mientras que los poliedros duales de Arquímedes o catalanes sí tienen inspiraciones. Pero muchos autores no respetan tales distinciones y asumen otras definiciones para los 'inspiradores' de sus poliedros.
Ver también
Referencias
- Coxeter, HSM Regular Polytopes 3rd Edn. Dover (1973).
- Cundy, HM y Rollett, Modelos matemáticos AP , 2ª Ed. OUP (1961).