Pequeño dodecaedro estrellado | |
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Tipo | Poliedro de Kepler-Poinsot |
Núcleo de estelación | dodecaedro regular |
Elementos | F = 12, E = 30 V = 12 (χ = -6) |
Caras por lados | 12 5 |
Símbolo de Schläfli | { 5 ⁄ 2 , 5} |
Configuración de la cara | V (5 5 ) / 2 |
Símbolo de Wythoff | 5 | 2 5 ⁄ 2 |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Yo h , H 3 , [5,3], (* 532) |
Referencias | U 34 , C 43 , W 20 |
Propiedades | Regular no convexo |
( 5 ⁄ 2 ) 5 ( figura de vértice ) | Gran dodecaedro ( poliedro dual ) |
En geometría , el penta-estelaedro , el kis-dodecaedro o el pequeño dodecaedro estrellado como lo llama Arthur Cayley , es un poliedro de Kepler-Poinsot , con el símbolo de Schläfli { 5 ⁄ 2 , 5}. Es uno de los cuatro poliedros regulares no convexos . Está compuesto por 12 caras pentagrammicas , con cinco pentagramas que se encuentran en cada vértice.
Comparte la misma disposición de vértices que el icosaedro regular convexo . También comparte la misma disposición de bordes con el gran icosaedro , con el que forma una figura compuesta uniforme degenerada .
Es la segunda de las cuatro estelaciones del dodecaedro (incluido el dodecaedro original).
El pequeño dodecaedro estrellado se puede construir de manera análoga al pentagrama, su análogo bidimensional, a través de la extensión de los bordes (caras 1) del politopo central hasta que se alcanza un punto en el que se cruzan.
Topología
Si las caras pentagrammicas se consideran como 5 caras triangulares, comparte la misma topología de superficie que el pentakis dodecaedro , pero con caras triangulares isósceles mucho más altas , con la altura de las pirámides pentagonales ajustadas de modo que los cinco triángulos del pentagrama se vuelvan coplanares. El ángulo crítico es atan (2) por encima de la cara del dodecaedro.
Si consideramos que tiene 12 pentagramas como caras, con estos pentagramas reunidos en 30 aristas y 12 vértices, podemos calcular su género usando la fórmula de Euler
y concluyen que el pequeño dodecaedro estrellado tiene el género 4. Esta observación, hecha por Louis Poinsot , fue inicialmente confusa, pero Felix Klein demostró en 1877 que el pequeño dodecaedro estrellado podría verse como una cubierta ramificada de la esfera de Riemann por una superficie de Riemann de género 4, con puntos de ramificación en el centro de cada pentagrama. De hecho, esta superficie de Riemann, llamada curva de Bring , tiene el mayor número de simetrías de cualquier superficie de Riemann del género 4: el grupo simétrico actúa como automorfismos [1]
Imagenes
Modelo transparente | Modelos hechos a mano | |
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(Ver también: animado ) | ||
Baldosas esféricas | Stelación | Neto |
Este poliedro también representa un mosaico esférico con una densidad de 3. (Una cara de pentagrama esférica, delineada en azul, llena de amarillo) | También se puede construir como la primera de las tres estelas del dodecaedro , y se hace referencia a él como modelo de Wenninger [W20] . | × 12 Se pueden construir pequeños dodecaedros estrellados de papel o cartulina conectando 12 pirámides isósceles de cinco lados de la misma manera que los pentágonos en un dodecaedro regular. Con un material opaco, esto representa visualmente la parte exterior de cada cara pentagrammica. |
En arte
Un pequeño dodecaedro estrellado se puede ver en un mosaico de suelo en la Basílica de San Marcos , Venecia por Paolo Uccello hacia 1430. [2] La misma forma es central en dos litografías de MC Escher : Contraste (Orden y Caos) (1950) y Gravitación ( 1952). [3]
Poliedros relacionados
Su casco convexo es el icosaedro convexo regular . También comparte sus aristas con el gran icosaedro ; el compuesto con ambos es el gran complejo icosidodecaedro .
Hay cuatro poliedros uniformes relacionados, construidos como grados de truncamiento. El dual es un gran dodecaedro . El dodecadodecaedro es una rectificación, donde los bordes se truncan en puntos.
El pequeño dodecaedro estrellado truncado se puede considerar un poliedro uniforme degenerado ya que los bordes y los vértices coinciden, pero se incluye para completar. Visualmente, parece un dodecaedro regular en la superficie, pero tiene 24 caras en pares superpuestos. Los picos se truncan hasta que alcanzan el plano del pentagrama debajo de ellos. Las 24 caras son 12 pentágonos de los vértices truncados y 12 decagones que toman la forma de pentágonos doblemente enrollados que se superponen a los primeros 12 pentágonos. Las últimas caras se forman truncando los pentagramas originales. Cuando un { n ⁄ d } -gon se trunca, se convierte en un { 2 n ⁄ d } -gon. Por ejemplo, un pentágono truncado { 5 ⁄ 1 } se convierte en un decágono { 10 ⁄ 1 }, por lo que truncar un pentagrama { 5 ⁄ 2 } se convierte en un pentágono de doble herida { 10 ⁄ 2 } (el factor común entre 10 y 2 significa que visitamos cada vértice dos veces para completar el polígono).
Estelaciones del dodecaedro | ||||||
Sólido platónico | Sólidos de Kepler-Poinsot | |||||
Dodecaedro | Pequeño dodecaedro estrellado | Gran dodecaedro | Gran dodecaedro estrellado | |||
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Nombre | Pequeño dodecaedro estrellado | Dodecaedro estrellado pequeño truncado | Dodecadodecaedro | Gran dodecaedro truncado | Gran dodecaedro |
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Diagrama de Coxeter-Dynkin | |||||
Imagen |
Ver también
- Compuesto de pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro
Referencias
- ^ Weber, Matthias (2005). "El pequeño dodecaedro estrellado de Kepler como una superficie de Riemann". Pacific J. Math . 220 . págs. 167-182. pdf
- ^ Coxeter, HSM (2013). "Poliedros regulares y semirregulares". En Senechal, Marjorie (ed.). Dar forma al espacio: exploración de poliedros en la naturaleza, el arte y la imaginación geométrica (2ª ed.). Saltador. págs. 41–52. doi : 10.1007 / 978-0-387-92714-5_3 .Ver en particular la p. 42.
- ^ Barnes, John (2012). Gems of Geometry (2ª ed.). Saltador. pag. 46.
Otras lecturas
- Wenninger, Magnus (1974). Modelos de poliedro . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-09859-9.
- Weber, Matthias (2005), "El pequeño dodecaedro estrellado de Kepler como superficie de Riemann" , Pacific J. Math. , 220 : 167–182, doi : 10.2140 / pjm.2005.220.167
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , Pequeño dodecaedro estrellado ( poliedro uniforme ) en MathWorld .